浅谈“公因数与最大公因数”

浅谈“公因数与最大公因数”

刘斌

湖南省 衡东县杨桥镇东烟完全小学 421441

《公因数与最大公因数》是人教版五年级下册第四章的内容。它是分数约分的基础，学生只有掌握了两个数的最大公因数的求法，才能更好更快的将一个分数化为最简分数。然而，很多学生不能快速找出、甚至找不出两个数的所有公因数和最大公因数。在此，我向大家分享一下我在教学该内容的一点心得。

一、求公因数与最大公因数的四种方法

下面我以“求36和48的公因数与最大公因数”为例来讲解这四种方法。

列举法：列举法是先把两个数的因数都求出来，然后进行比较，找出两个数相同的因数（即公因数），再找出最大的那个公因数（即最大公因数）。

求法：36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36；

48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；

因此，36和48的公因数有1、2、3、4、6、12；最大公因数是12。

筛选法：筛选法是先把一个数的因数全部求出来，再从这些因数中找出另一个数的因数，这些找出的数即为两个数的公因数，再找出最大的那个公因数（即最大公因数）。

求法：36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36；

36的因数中1、2、3、4、6、12是48的因数；

因此，36和48的公因数有1、2、3、4、6、12；最大公因数是12。

短 除法：逐步除以两个数相同的最小质因数，直到除出的结果互质为止，这些质因数的积即为这两个数的最大公因数。

求法：

因此，36和48的最大公因数是12。

辗转相减法：用大的数减去小的数，然后逐步用每步减数和差中的大数减去小数，直到差和减数相等为止，求得的差即为两个数的最大公因数。

求法： 48 - 36 = 12

36 - 12 = 24

24 - 12 = 12

因此，36和48的最大公因数是12。

5、辗转相除法：用大的数除以小的数，然后逐步用每步除数除以余数，直到余数为0为止，除数即为两个数的最大公因数。

求法： 48 ÷ 36 = 1……12

36 ÷ 12 = 3

因此，36和48的最大公因数是12。

二、四种方法的优点和缺点

列举法和筛选法，是教材上教学的方法，我们可以用这两种方法找出任意两个数的因数的公因数和最大公因数。然而，每个数的因数的个数不相同，有些数的因数特别多，很多学生找不出一个数的全部因数，从而找不全两个数的公因数，找出的最大公因数也并不是这两个数的最大公因数。

短除法是我最喜欢用的方法，也是我向学生重点讲解的方法，因为用此方法不仅仅求出了两数的最大公因数，最小公倍数也求一并求出来了，而且除出来的最后的两个数就是后面要学的约分的最简分数的分子、分母。

相减法出自《九章算术》中约分术，有部分学生除法没学好，在运用前面三种方法求最大公因数时，总是找不出一个数的因数或质因数，这些学生用相减法也能快速地求出两个数的最大公因数。

然而有些题目不仅仅是要求最大公因数，还要把所有的公因数都求出来。这时候用第三、四种方法还合适吗？

答案是肯定的，细心的学生会发现，两个数的公因数就是它们的最大公因数的因数。也就是说只要求出了最大公因数，其它公因数就用求一个数的因数的方法就能求出来。

总体来说，如果要把两个数的所有公因数都求出来，可以用列举法和筛选法；只要求最大公因数用短除法和相减法比较简单。

二、最大公因数的几种特殊情况

1、倍数关系：当两个数是倍数关系时，这两个数的最大公因数是这两个数中较小的那个数。

2、互质数：最大公因数是1的两个数。

（1）1与任何非零自然数互质；

任意两个不相等的质数互质；

相邻的两个非零自然数互质；

2与任何奇数互质；

相邻的两个奇数互质

不是倍数关系的质数与合数。

以上是我在教学公因数与最大公因数时的一点点心得，希望能为各位同学解决学习该知识的一些困惑。

2019.4.27

参考文献：

刘振海, 王剑, 张园园. 让数学和编程在小学“牵手”——最大公因数的高效算法[J]. 新课程, 2016(25):16-16.

杨伟, 俞剑锋. 浅谈“基本思想和基本活动经验”的价值——以《公因数与最大公因数》教学为例[J]. 数学学习与研究, 2015(20):73-73.

张鸿森. 彰显数学简约之美——“最大公因数”教学反思[J]. 教学月刊小学版(数学), 2011(z1):93-94.

葛敏辉. 数学课应关注学生的生命成长——谈人教实验版“最大公因数”的教材解读与实践[J]. 小学教学参考(3):30-32.