简介:摘要:爱心,是做好班主任工作的前提和基础。耐心,是教育“爱心”的一种具体体现,是实现教育目标的保证。信心,是教师给予学生的最好礼物。以教师之爱心、耐心,激荡起学生的信心之满怀,班主任的教育也就成功了一半。
简介:文[1]提出,任一完备空间是第二纲的(俗称纲定理)而未给出证明令初学者费解.本文首先谈谈完备空间的一个充要条件,接着对纲定理加以论述,并给出一个判定稀疏集的条件.本文所采用的符号可参阅[2]文[3]指出,完备空间内的闭集本身构成完备的子空间.由此,我们可以得到如下完备空间的一个充要条件.定理1(X,ρ)为完备空间的充要条件是:若(?)n为X的闭子集,当(?)1≥(?)2≥…≥(?)n≥…且dia(?)n→0时,(?)(?)n为单点集.n=1,2,….证明(?)从每个(?)n内取一点xn∈(?)m由于limdia(?)n=0,则{xm}为Cauchy序列.因为X是完备空间,故X中的任一Cauchy序列都收敛,即limxm=x0存在.巳知(?)n为闭集.故x0∈(?)n且(?)(?)n不空,n=1,2,….若又有y0∈(?)(?)n,则ρ(x0,y0)≤limdia(?)n=0,于是x0=y0,(?)记A1={xm}n=1,2,…;A2={xn}n=2,3,…;Ak={xm)m=k,k+1,…,…并令(?)n=(?)m,则(?)m为闭集,且(?)1≥(?)2≥…≥(?)m≥….显然dis(?)m=diaAm→0,于是由题设,(?)x0∈(?)(?)m,从而就有Lim(x0,xm)→0,即{xm}在X内有极限.定义1若A≤x在(X,ρ)内的任一非空开集内无处稠密,对非空开集G有(?)(?)G,称A在X内稀疏.由此不难证明如下命题.