浅析函数单调性的应用

一、比较实数大小
函数的单调性是函数的重要性质，通过研究函数的单调性可以揭示函数值的增大或减小的变化特性。
例1.若函数f(χ)是二次函数，且f(2-χ)=f(2+χ)对任意实数x都成立，又知f(3)＜f(π),试比较f(3)和f(-3)的大小关系.
解：由f(2-χ)=f(2+χ)可得函数f(χ)的图像，即抛物线的对称轴是直线χ=2，f(3)＜f(π)可得抛物线开口向上，即：
f(χ)在χ∈(-∞,2)上单调递减，在χ∈[2,+∞)单调递增.
则f(-3)＜f(1),f(1)=f(3).
所以f(3)＞f(-3)
二、求函数的值域
函数的单调性能反映函数值的变化情况，是求函数的值域的一种有效而简单的方法.
例2．求函数 的值域，其中｜x｜≤1.
解： ，设u=χ2+2χ+7=(χ+1)2+6
由｜x｜≤1知，6≤u≤1.于是有
容易验证在区间[6,8]上,f(u)是减函数；而在[10,8]上，f(u)是增函数.
故有：
f(8)≤f(u)≤f(6);f(8)≤f(u)≤f(10)
因f(6)≥f(10)，故15=f(8)≤y=f(u)≤f(6)- .
例3.求函数 的值域。
解：令t=2χ2-8χ+6,则y=3t.
又t=2(χ-2)2-2，所以t有最小值-2，即：t≥-2.
又函数y=3t在R上是增函数，当t=-2时，y有最小值 .
因为此函数在R上是连续函数，故函数 的值域为[ ,+∞).
构造函数是解决求值问题的方法之一，并运用函数的单调性知识能使问题很容易解决。
例4.已知 , 求cos(χ+2y)的值.
解：将原方程组变形为： 则原方程组变为：
，所以f(χ)=f(-2y).
构造函数 .
因为f(t)=t3+sint,在 上是增函数.
由f(χ)=f(-2y)得χ=-2y,χ+2y=0;故cos(χ+2y)=0.
三、证明不等式或几何题
从外形结构联想到构造函数，利用函数的单调性是证明不等式的一条有效途径.
例5.已知a＞0,b＞0，a+b=1求证： .
证明：

构造函数 ，易知此函数在(0,1)上是减函数.

例6.设△ABC三边为a,b,c，若果存在m满足m≥3使得am+bm=cm，则△ABC为锐角三角形.
证：由am+bm=cm知c＞a,c＞b及

又 ，则 都为减函数

于是有 ，则

即 ，所以c2＜a2+b2

故△ABC为锐角三角形.
四、解方程
例7.解方程 .

解：设 ，所以原方程可化为：
log12(9y+3y)=y，得9y+3y=12y,

则： .

所以y=1代入
故原方程的解为χ=1.
五、求参数的值或范围
例8.已知函数f(χ)=χ2+2(a-1)χ+2.(1)函数f(χ)的递减区间是(-∞,4)，求实数a值. (2)若函数f(χ)在区间(-∞,4)上是减函数，求实数a的取值范围.
解：(1)函数f(χ)的对称轴为χ=1-a，且二次项系数1＞0
所以函数f(χ)的单调区间为(-∞,1-a).
又函数f(χ)的递减区间是(-∞,4)
所以1-a=4,即：a=-3.
(2)因为函数f(χ)在区间(-∞,4)上是减函数
所以(-∞,4)应是减区间(-∞,1-a)的子集.
则1-a≥4，故a≤-3.
注：二次函数的单调区间是由其开口方向和对称轴决定的，因此解决此类问题应该从对称轴和二次项系数入手.
六、图像
在判断函数单调性时，要多角度，多渠道去思考，利用动态的观点和数形结合的思想是解决问题的一种方法.
例9.已知f(χ)=χ2-2χ-+3,g(χ)=x2，判断f[g(χ)]在(-∞,-1)上的单调性.
解：记u=g(χ)=χ2，则f(u)=u2-2u-3分别作出他们的图像如图3和图4
由图3知当χ∈（-∞,-1]增大时，u∈（1,+∞]减小
由图4知当u∈（1,+∞]减小时f(u)减小.
综上可知：f[g(χ)]在(-∞,-1]上是减函数.

注：用云这一动态观点，不仅避免了作差变形的繁琐，而且对单调性的认识既直观形象，有流畅自然.很轻松地揭示出了复合函数的“同增异减”的单调规律，培养了形象思维.
八、实际问题
实际问题是数学的最高应用问题，考察学生灵活应用数学知识解决实际问题的能力，可见逐步增强函数的应用意识及早实现，对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成，从不同角度不同方向去思考问题在数学中尤为重要.
例10.甲乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分加固定部分组成，可变部分与速度χ(km)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的速度越快，其全程的运输成本越小？若不是，那么为了使得全程运输成本最小，汽车应该以多大速度行驶？
分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度χkm/h之间的关系，建立函数模型，结合函数的特点，运用函数知识求解.
解：设汽车运输成本为y元，依题意的汽车运输成本y元与行驶速度χ之间的关系式为： ，即y=s( +aχ)

(χ∈（0,+∞）)即将此问题转化为函数 是否随χ的不断增大而减小?当χ取何值时，y有最小值？下面讨论函数
，(χ∈（0,+∞）,a＞0,b＞0)在其定义域内的单调性.
设χ1,χ2∈(0,+∞)且χ1＜χ2
则有：

所以：当

当 ，故f(χ1)＜(χ2)

综上所述：函数 (a＞0,b＞0)并不是在整个区间（0,+∞)上是随χ的不断增大而减小的，而且由上述可以看出当

时，y有最小值，即 .

故在这个实际问题中可回答为：并不是汽车的形式速度越快，其全程运输成本越小；要使全程运输成本最小，汽车应以

的速度行驶.

函数的单调性，是学生第一次进行严谨完整的代数论证，是学生第一次系统地研究函数的性质，是学生第一次认识“任意”，所以无论在基本知识方面，研究方法方面还是认识论方面，数学教学都承载着重要的使命。
[参考文献]
[1]陈卫东.函数单调性的若干应用.数学教学研究，1994,(6)
[2]齐世荫.函数的单调性在解题中的应用，数学通讯，2000,(8)
[3]刘宗海.在函数的单调性教学中培养学生的思维品质，中学数学，1998,(7)
[4]杜务.四轮复习法详解手册.吉林：延边大学出版社，2004
[5]赵云乐.构造二次方程证明不等式.数学学报，1998,(8)
（作者单位：1.成都市盐道街外语学校，2.成都市双流县棠湖中学外语实验学校）