路面使用性能预测中的参数不确定性分析

摘要：针对路面使用性能预测中的参数不确定性问题，本文分析了考虑参数不确定性的回归分析、因子分析、可靠性分析及误差离散方法，提出了考虑参数不确定性的使用性能预测方法，并给出了分析实例。

关键词：路面 使用性能 预测参数不确定性 回归分析

1　前言

　　在路面管理系统中，使用性能的预测是分析过程中一个极其重要的方面。路面管理系统所使用的使用性能预测模型可分为两大类，确定性预测模型和不确定性(概率型)预测模型。文献［1］提出了水泥混凝土路面中路面状况指数PCI在不同交通指数和结构指数下的确定型和概率型模型，在文献［1］中，对于实测的路面使用性能数据，按一定交通状况和路面结构特征的划分，通过回归分析，得到不同使用性能参数的预测方程和转移概率分布。
　　在这一分析过程中，默认了3个基本的假设；
　　(1)实测的数据代表了路面使用性能的真实分布；
　　(2)交通指数的划分是确定可靠的；
　　(3)结构指数的划分是确定可靠的。
　　事实上，要保证这3个假设成立是困难的，一般数据采集都是采用取样方式得到，样本数据和总体实际数据之间必然存在一定的误差；在交通指数的确定过程中，实测交通量数据及荷载换算系数都会和实际的状况有一定的差别，路面结构的指数更是要受到施工条件、材料情况、养护水平等诸多因素的影响，而且，交通指数和结构指数本身并非一种非此即彼的布尔关系，简单的划分是不足以代表这种关系的。这样将导致预测结果存在某种程度的不确定性。在运用预测方程分析路网使用性能变化时有必要考虑这种不确定因素的存在。
　　国内对水泥混凝土路面结构和沥青路面结构的可靠性分析作过研究，但在路面管理系统中目前尚未涉及。国外对不确定性的分析作过较多研究，并将一些研究成果引入路面管理系统中，文献［2］［3］等分析了考虑不确定性的网级决策过程，文献［4］对数据采集方法的误差分析作了研究。
　　下面以文献［1］的分析为基础，以PCI为例分析在预测过程中怎样考虑参数不确定性。
2　实测数据的分布分析

　　路况数据的不确定性来源为：
　　(1)数据采集过程中人为的视觉误差或操作误差；
　　(2)数据样本和数据总体间的分布误差。
　　分析实测数据采集过程中人为视觉误差和操作误差，是一个过程复杂的数学问题，常用的分析方法有：
　　(1)回归分析；
　　(2)因子分析。
　　对数据样本和数据总体间的分布误差，一般则用分布间的误差离散来解决。
2.1　实测数据采集误差的回归分析
　　回归分析方法的基本原理是：对分析对象，设法寻找一个相对参照系统，利用相对参照系统，求出分析对象的真值，再利用实测的路况数据，建立实测数据和真实数据间的关系。
　　在路面数据的误差分析中，一般用到三个基本的假设：
　　(1)回归分析模型是一次线性的；
　　(2)回归参数只与测试对象和测试方法有关，与测试的时空特征无关；
　(3)系统的随机偏差服从正态分布。
　　在回归分析中，要找到一个相对真实的基准参考方法和参考系，然后利用参考系测出状况真值，利用实测结果和真值结果的统计特征，求出上面的方程。
　　分析实测值和真实值的关系后，利用实测结果的均值和回归方程，可求出路面真实结构的均值，参照正态分布的假设，可知D服从由此可知某一实测值在分布区间的分布概率PO：

PO=p(PCIO=i｜PCIC)　　　(3)

　　式中：PO——对具体分析路段PCI从实测值到真实值的分布概率；
　　　　　PCIO——PCI真实状态的分布；
　　　　　PCIC——实测路段PCI值。
　　导出单个路段的PCI值之后，便可得到指定路网PCI分布Pr，从单个路段分布到路网分布的过程中，路段长度作为相应权数。

　　2.2　实测数据采集误差因子分析
　　因子分析是另一种分析数据误差的方式，在因子分析中，对数据的分布特征假设与回归分析一样。其相应的显示关系为：

D=e＋D*×β+ε
(n*m) (n*1) (1*m) (n*1) (1*m) (n*m)　　　　(5)

式中，D——路段实测数据的(n×m)矩阵；
　　　l——单位向量矩阵；
　　　α——加法因子的(1×m)矩阵，与测试方法有关；
　　　D*—— 未知真值的(n×1)矩阵；
　　　β——乘法因子的(1×m)矩阵，与测试方法有关；
　　　ε—— 随机偏差的(n×m)矩阵；
　　　m——测试方法类型；
　　　n—— 测试对象的不同路段。
　　因子分析的前提是对同一个测试目标的不同路段，运用几种不同测试方法，测试出实测数据矩阵D，通过对上面显示方程的变换和计算，得到相应的加法因子向量α和乘法因子向量β。
　　研究表明，从总体而言，因子分析比回归分析要合理一些，因子分析能使实测数据得到最大程度的利用，分析结果的有效性和可靠性都更好一些。
　　在因子分析中，并不要试图找出一个被认为能真实反映路面特征的参考系，这使得分析方法的理论更为严密，分析手段也更为简便，但因子分析的基本前提是多种测试方法，在我国，绝大部分的实测数据(路面管理系统中)收集方法是单一的，尽管路面测试的新方法正在研究之中，都没有达到实用的程度。因此，在目前的阶段，用因子分析方法来分析实测数据的误差还不现实，随着测试手段的增加，用因子分析会得到比回归分析更可靠的分析结果。

2.3　数据样本总体间的误差离散
　　样本数据和总体数据间必然会有分布的误差，误差的大小与样本的规模有关。在一般的分析过程中，这种分布的误差常常被认为是正态的。文献［3］对这种正态的误差分布作了一个基本的假设：　路面总体数据和样本数据间的误差服从正态分布N(O，δ20)。
　　这个假设包括两个结论：
　　(1)认为样本数据的均值能代表总体数据的均值；
　　(2)如果样本数据的方差为δ20，那么总体数据的方差为
　　δ20+δ21 。
　　已知PCI分布Pr:P(PCIO=i)和分布误差N(O,δ21 )，运用概率统计的一般关系，便可导出PP：P(PCI′=i｜PCIo=i)。
2.4　本研究中的分析过程
　　本研究将误差分析分为两个层次，第一个层次是分析具体的路段中，实测数据和真实数据间的关系；第二个层次是分析以样本数据代表总体数据所带来的误差传递。对第一层次，采用参数回归分析的方法，对第二层次，采用误差分布离散的方法。
　　我国实测PCI的方式还比较有限，基本是人工目测，为了分析人工目测方法的误差，需要找到一个相对基准面，这个相对基准面也只好采用人工目测的方法，两者间差别为：前者是一般操作过程中的正常量测，而后者是专用于标定过程的精确量测。在一般的分析中，这种比较方式是可以接受的。
　　通过实际标定和回归分析，可求出PO：P(PCIO=i｜PCIc)。
　　在具体分析对象中，以路段长度为权数，可导出Pr:P(PCIO=i)。
　　针对一定的抽样规模，假定分布误差的方差为δ21 ，可求出PP。

3　交通指数的分布分析

　　求解Pt=P (TRA′=j｜TRAO=J)可从两个途径分析：
　　(1)模糊评价；
　　(2)参数可靠性。
3.1　模糊评价
　　将模糊数学方法引入路面管理系统中，国内外作过一定的研究，文献［5］建立了不同交通量水平对评价集的隶属函数，从文献［5］可知：

Pt=Si/Sj　　　　(6)

　　式中：Si——评价结论为j的区域面积中隶属于i结论的面积；
　　　　　Sj——评价结论为j的区域面积。

Si=∫μi dAADT
Sj=Aj-Aj′

　　式中：Aj——评价结论为j和AADT上限；
　　　　　Aj′——评价结论为j的AADT下限。
　　借助于模糊评价的隶属函数，也可以分析水泥混凝土路面交通指数的不确定性。
3.2　参数可靠性
　　沿引刚性路面结构可靠度［6］的研究结果，已知轴载组成的变异Cv，假设路面轴载服从正态分布N(μ，δ)，其分布函数为：由Cvj=δj/μj，给定Cvj和μj，便可知δj，因此，对每一交通指数，便可知其分布N(μj，δj)，由分布特征便可知：

Pt=P(TRA＇=J|TRAo=J
4　结构指数的分布分析
　　结构指数的指标是不考虑温度应力的应力水平值R。与交通指数不确定分析一样，求解Ps=P(STR′=k｜STRo=k)也有两种途径，在此主要分析第二种方法。
l=1.419h[EC(1-μ21)/6Et(1-μ20)]1/3
Et=f(E1,h1,E0)
　　式中：σp——不考虑接缝传荷能力的计算荷载应力；
　　　　　σS——设计强度；
　　　　　P——轴载重(kN)，取后轴10t，P=98kN；
　　　　　h——面板厚度(cm)；
　　　　　l——板的相对半径(cm)；
　　　　　Ec——混凝土抗折弹性模量(MPa)；
　　　　　Et——基层顶面的当量回弹模量(MPa)；
　　　　　E1——基层材料的回弹模量(MPa)；
　　　　　h1——基层厚度(cm)；
　　　　　Eo——土基的回弹模量(MPa)。
　　按荷载作用于横边中部计算：
　　　　A=0.84252， λ=0.70164， n=0.84824， μ1=0.15， μo=0.30
　　故有：
　　　　R=0.715P0.848 (Ec/Et)0.234/σs h1.3
　　　　R=34.90(Ec/Et)0.234/σs h1.3
　　令 a=34.90，b=0.234，c=1，d=1.3，有：
　　　　R=a(Ec/Et)b/σcshd
　　对上式两边取对数：
　　　　LnR=Lna+bLnEc-bLnEt-cLn6s-dLnh
　　参照水泥混凝土路面可靠度分析结果，Ec，Et，6s，h的分布服从对数正态分布，由此可知，Ln Ec，LnEt，Ln6s，Lnh服从正态分布，因上式是回归分析结果，分析数据和分析结果间存在随机偏差。在本分析中，不考虑此随机偏差的影响，那么可知Ln R服从正态分布，利用 Ec，Et，6s， h的分布参数便可导出R分布的数值特征。
5　考虑数据和参数不确定性的预测过程
　　不考虑参数和数据不确定性的PCI预测过程为：
转移矩阵M-PCIjk　　考虑参数和数据不确定性的预测过程为：
转移矩阵M-PCIjk

　　实测分布和确定分布的关系为：
　　　　　　　Pp=P(PCI′=i｜PCIo=i)
　　　　　　　Pt=P(TRA′=j｜TRAo=j)
　　　　　　　Ps=P(STR′=k｜STRo=k)
　　设t年PCI的实测分布为
=［PCIO1，PCI02，PCIO3，PCIO4，PCIO5］，在交通指数j和结构指数k的条件下，其转移概率矩阵M-PCIjk为：
　　由PCIOTt 和PP=P(PCI′=i｜PCIo=i)，有：
　　　　PCI′t=［PCI′1，PCI′2，PCI′3，PCI′4，PCI′5，］
　　由交通指数j和Pt=P(TRA′=j｜TRAo=j)，有：
　　　　TRA′=［TRA′1，TRA′2，TRA′3，TRA′4］
　　由结构指数k和PS=P(STR′=k｜STRo=k)，有：
　　　　STR′=［STR′1，STR′2，STR′3］
　　故可求：
6　算例
　　对某路段，设其单向日标准轴载为2100，荷载应力水平为0.50，路段由3个子路段组成，各子路段使用性能参数PCI在第T年的实测结果及路段长度为
　　子路段一：11 =2km PCIc1=90
　　子路段二：12 =3km PCIc2=80
　　子路段三：13 =1km PCIc3=65
　　设PCI量测的误差分布方差δ20 =22,误差分布服从N(PCIc，δ20)。
　　设Po=P(PCIO=i｜PCIc)，可求：
　　路段1：PCIc=90，P01=(0.99，0.01，0.00，0.00，0.00)
　　路段2：PCIc=80，P02=(0.01，0.99，0.00，0.00，0.00)
　　路段3：PCIc=65，P03=(0.00，0.00，1.00，0.00，0.00)
　　设路段是总体全样调查，不存在样本误差，，有：
　　　　PCI’t=(0.34，0.50，0.16，0.00，0.00)
　　设轴载组成的变异Cv=0.2，那么交通轴载服从N(2100，4202)有：
　　　　Pt=P(TRA′=j｜TRAo=2100)=(0.59,0.41,0.00,0.00)
　　设结构参数R的变异Cv=0.1，R服从N(Ln(0.51)，(1n(0.051))2)有：
　　　Ps=P(STR′=k｜STRo=0.5)=(0.46，0.54，0)
　　已知其使用性能状态转移概率矩阵M-PCIjk(j：交通，k：结构)。