偏对称拉普拉斯分布的若干性质浅析

偏对称拉普拉斯分布的若干性质浅析

田芫陈超宗序平

扬州大学数学科学学院江苏扬州225001

摘要：各种类型的偏对称分布一直是学者们研究的课题，国内外有一些学者研究了偏拉普拉斯分布。在此基础上，研究了偏对称拉普拉斯分布，此类分布包括偏正态拉普拉斯分布，偏拉普拉斯分布和偏均匀拉普拉斯分布等，并给了出它们的若干性质。

关键词：偏拉普拉斯分布；对称分布；特征函数

1、引言

偏对称分布的研究已经持续了半个多世纪，Roberts(1966)最早提出偏正态分布，Azzalini[1](1985)在此基础上定义了偏正态分布的概念。Gupta[2](2002)研究了偏对称拉普拉斯分布的一些性质；TomaszandSeidu[3][4](2006)等讨论了拉普拉斯分布的离散形式，然后给出了概率密度函数、分布函数、特征函数、均值和方差的表达式。对偏拉普拉斯分布的应用研究也取得了一些成果，如OlgaandJosé[5](2008)等把偏拉普拉斯分布应用于微生物中流式细胞数据，并在图像和数值方面都取得了很好的拟合效果。

定义1.1设为随机变量，是偶函数且为的概率密度函数，是标准拉普拉斯分布函数，即，这里的表示示性函数。若的概率密度函数为其中是位置参数，是尺度参数，是偏度系数，则称服从偏对称拉普拉斯分布(以下用到的地方皆与此同义)。时，，则服从于标准偏对称拉普拉斯分布；

时，，，当时趋向于的概率密度函数时，，无意义；时，，，趋向于的概率密度函数。

性质1.1设，是定义1.1中的随机变量，则

（i）的偶阶距相同。（ii）的分布函数相同。

证明:令特征函数为，特征函数为，则

令，则令，因此由此式可证第(i)条结论，且可推知与的阶距相同，则性质（ii）成立。

接下来将讨论f取不同的对称概率分布函数的情况，包括f取正态分布、均匀分布、Laplace分布、Logistics分布、三角分布，并研究了他们的一些性质。最后提出了若干类似的分布，有待讨论。

2、若干偏对称拉普拉斯分布

(1)偏正态拉普拉斯分布

定义2.1设为随机变量，为标准正态分布的概率密度函数，为标准拉普拉斯分布函数，若的概率密度函数为则称服从偏正态拉普拉斯分布。当时，就称服从标准偏正态拉普拉斯分布。

性质2.1若随机变量的分布为标准偏正态拉普拉斯分布，则的分布为自由度为1的卡方分布。

性质2.2若随机变量的分布为标准偏正态拉普拉斯分布，其特征函数为，则

证明：当时，令，

令，；

令，

由三式可得

同理当时可得可以求出

（2）偏均匀正态分布

定义2.2设为随机变量，是[-1,1]上均匀分布的密度函数，是标准拉普拉斯分布函数，若的概率密度函数为

则称服从于偏均匀拉普拉斯分布。当时，就称服从标准偏均匀拉普拉斯分布。

性质2.3若随机变量的分布为标准偏均匀拉普拉斯分布，其特征函数为，则

证明：当时，同理当时可得由上述性质，可以求出

（3）偏Laplace分布

定义2.4设为随机变量，和分别是标准拉普拉斯分布的密度函数和分布函数，若的概率密度函数为，则称服从偏Laplace分布。当时，就称服从标准偏Laplace分布。

性质2.5若随机变量的分布为标准偏Laplace分布，其特征函数为[2]，则证明:当时，同理可得

由(15)式可得

（4）偏Logistics拉普拉斯分布

定义2.5设为随机变量，为标准Logistics分布的密度函数，为标准拉普拉斯分布的分布函数，若概率密度函数为

则称服从偏Logistics拉普拉斯分布。当时，就称服从标准偏Logistics拉普拉斯分布。

性质2.6若随机变量的分布为标准偏Logistics拉普拉斯分布，设为的概率密度函数则由此式可以求出

（5）偏三角正态分布

定义2.6设为随机变量，为[-1,1]上的对称三角分布的密度函数，，若的概率密度函数为则称服从偏三角拉普拉斯分布。当时，则称服从标准偏三角拉普拉斯分布。

性质2.7若随机变量的分布为标准偏三角拉普拉斯分布，其特征函数为，则

证明：当时，利用分部积分可得

同理当可得

可得

3其它相关分布

定义3.1设为随机变量，为标准Cauchy分布的密度函数，为标准拉普拉斯分布的分布函数，若的概率密度函数为

，(24)

则称服从偏Cauchy拉普拉斯分布。当时，就称服从标准偏Cauchy拉普拉斯分布。

定义3.2设为随机变量，为Slash分布的密度函数，为标准拉普拉斯分布的分布函数，若的概率密度函数为

，(25)

则称服从偏Slash拉普拉斯分布。当时，就称服从标准偏Slash正态布。

定义3.3设为随机变量，为t分布的密度函数，为标准拉普拉斯分布的分布函数，若的概率密度函数为

，(26)

则称服从偏t拉普拉斯分布。当时，则称服从标准偏t拉普拉斯分布。

4总结

本文主要给出了若干带有偏度系数的对称概率密度函数的矩母函数、均值和方差，并给出了部分分布的概率密度函数图。在以后的工作中，可以研究偏对称拉普拉斯分布模型的参数估计和显著性检验问题。

参考文献

[1]AzzaliniA.AClassofDistributionsWhichIncludestheNormalOnes[J].ScandinavianJournalofStatistics,1985,12(2):171-178.

[2]GuptaA.K,ChangF.C,HuangW.J.Someskew-symmetricmodels[J].RandomOper,andStock.Equ,2002,10(2):133-140.

[3]TomaszJ.Kozubowski,SeiduInusah.ASkewLaplaceDistributiononIntegers[J].AnnalsoftheInstituteofStatisticalMathematics,2006,58(3):555–571.

[4]TomaszJ.Kozubowski,SeiduInusah.AdiscreteanalogueoftheLaplacedistribution[J].JournalofStatisticalPlanningandInference,2006,136(3):1090–1102.

[5]OlgaJulià,JosépVivesRego.Amicrobiologyapplicationoftheskew-Laplacedistribution[J].StatisticsandOperationsResearchTransactions,2008,7(2):141-150.