浅析竖直平面内的圆周运动的临界问题

浅析竖直平面内的圆周运动的临界问题

王滨江

山东省昌邑市文山中学261300

竖直平面内的圆周运动往往是在一些理想模型约束下进行的,常见的有轻绳、轻杆、轨道、管道等,下面将对这类临界状态问题进行综合分析。

一、轻绳模型

绳或光滑圆轨道的内侧。如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：

1.临界条件：小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力提供。根据牛顿第二定律得，mg=m，即v临界＝Rg。这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度；也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度。

2.小球能通过最高点的条件：当v>Rg时，这时绳子对球有作用力，称为拉力。当v＝Rg时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。

3.小球不能通过最高点的条件：v<Rg时，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道（如图）。

二、轻杆模型

杆和光滑管道。如图所示，它的特点是：在运动到最高点时有物体支撑着小球。下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：

1.临界条件：由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高点，临界速度是：v临界＝0。此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。

2.如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：当v＝0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN＝mg；当0<v<Rg时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0<FN<mg；当v＝Rg时，FN＝0。这时小球的重力恰好提供小球做圆周运动的向心力；当v>Rg时，硬杆对小球有指向圆心(即方向向下)的拉力，其大小随速度的增大而增大。

三、两种模型分析比较

1.轻绳模型：均是没有支撑的小球，由mg＝m得v临＝gr。

（1）过最高点时，v≥gr，FN＋mg=m，绳、轨道对球产生弹力FN。

（2）不能过最高点v＜gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。

2.轻杆模型：均是有支撑的小球,由小球恰能做圆周运动即得v临＝0。

（1）当v=0时，FN=mg，FN为支持力，沿半径背离圆心。

（2）当0＜v＜gr时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小。

（3）当v＝gr时，FN＝0。

（4）当v＞gr时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大。

四、竖直面内圆周运动的求解思路

1.定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，因为这两种模型过最高点的临界条件不同。

2.确定临界点：v临＝gr，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点；而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。

3.研究状态：通常竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。

4.受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合=F向。

5.过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律来将初、末两个状态联系起来列方程。

五、典例解析

长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是()。

A.当v的值为gL时，杆对小球的弹力为零

B.当v由gL逐渐增大时，杆对小球的拉力逐渐增大

C.当v由gL逐渐减小时，杆对小球的支持力逐渐减小

D.当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大

解析：选ABD。首先判断是是轻杆模型，在最高点球对杆的作用力为0时，由牛顿第二定律得：mg＝，v＝gL，A对。当v＞gL时，轻首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，力，则F＋mg＝，v增大，F增大，B对。当v＜gL时，轻杆对球有支持力，则mg－F`＝，v减小，F`增大，C错。由F向＝知，v增大，向心力增大，D对。

六、画龙点睛

1.解答竖直面内的圆周运动问题时，首先要搞清是绳模型还是杆模型。在最高点绳模型中小球的最小速度是gR；而杆模型中小球在最高点时的最小速度为零。

2.绳模型和杆模型通过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑力，而杆可有支撑力。

3.对杆模型在最高点时，有时不知是支撑力还是拉力，此时可假设，然后根据结果的正负再确定。