《勾股定理与平方根》教学中的困惑与思考

《勾股定理与平方根》教学中的困惑与思考

王金坤

盐城市第一初级中学王金坤

苏科版数学八年级上册第二章《勾股定理与平方根》，本文中笔者将结合自身的教学实践，谈谈解决这些困惑的对策与思考。

困惑一：为什么要以1955年希腊发行的一枚纪念邮票作为问题情境引入勾股定理？

本章的两幅章头图，一幅是2002年世界数学家大会的会标，选用的是我国古代数学家验证勾股定理的弦图，另一幅是用勾股定理构造一类无理数的图形。笔者认为，引导学生观察章头图，可作为本章的总领。邮票作为情境，不仅仅是考虑到邮票来源于生活，学生感兴趣，而且这张纪念邮票非常简明地、必然地将学生的注意引向本节内容的本质。问题“观察这枚邮票上的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现”的提出，能引发学生思考。图案是以直角三角形三边分别向形外作了三个正方形，观察图中黑白相间的小方格的个数，不难发现，以两直角边为边的2个正方形中小方格个数之和恰好等于以斜边为边的正方形中小方格的个数。这为探索课本中图2-1提出的问题“计算以AB为一边的正方形的面积”奠定了基础。教学活动可分三步设计，第一步，让学生先猜想所求面积是多少？第二步，说明猜想正确的理由，与同学交流；第三步，请同学们思考，从上述面积计算的过程中你发现了什么？通过猜想促使学生积极思考，主动地进行由邮票上的图案到图2-1的联想（小方格的数量与正方形的面积、正方形的面积与正方形的边长、正方形的边长与三角形形状的联想等），这就是用邮票作为情境的作用所在。在这个过程中，学生能主动建立由数到形、由形到数的联想，从中积累了数学活动的经验。所以，我们认为应该用好“邮票”这个情境。

困惑二：在第2节神秘的数组中，为什么要让学生尝试用小明的说理方法“画一个直角三角形，使它的2条直角边的长分别为60mm、45mm，看能否与△ABC全等”？

笔者认为，由于602+452=752形似勾股定理的结论，首先要让学生明白这不是勾股定理，要探索的问题是“如果三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形吗？”。其次，通过操作（画三角形）、度量，可以验证、发现所画△ABC是直角三角形，确实使学生参与了探索“判定一个三角形是直角三角形的条件”的活动，也能使学生在探索的过程中，认识到数形的内在联系，体会到数形结合的思想。理应认为，探索活动可以到此为止，为什么还要介绍小明的说理方法呢？这是因为，一方面，操作与度量有时有误差，得出的结论不一定可靠；另一方面，这种方法是具体的说理过程，虽然是“同一法”（不必向学生介绍），但其目的不是介绍这种方法的思想，而是引导学生尝试用已有的知识和经验寻求解决问题的不同方法，使学生不断获得解决问题的经验。在这个过程中，学生逐步认识到度量是验证的一种方法，但结论的正确性往往还需要通过说理来说明。

困惑三：为什么要引导学生尝试描述和刻画“■是怎样的一个数？■有多大”？

在第5节实数中，课本提出了这样2个问题，■是怎样的一个数？试在数轴上画出表示■的点。事实上，学习了平方根的知识后，学生对■也有了一定的认识。

我们首先要知道这节课的教学目标是什么？最重要的有三点，一是知道无理数是客观存在的，了解无理数和实数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数；二是知道实数和数轴上的点一一对应；三是经历用有理数估算■的探索过程，从中感受“逼近”的数学思想。事实上，学生虽能用数轴上的点表示出■，但在课堂上交流时对无理数的一些认识还很不全面。这节课应充分关注学生经历数系的扩充，感受数学的逼近思想，发展数感等，这些过程性目标应在课堂教学中得到体现。在“■到底有多大”的探索过程中，能让学生逐步发现1.4<■<1.5，1.41<■<1.42，1.414<■<1.415，接着又提出下列问题，如果保留4位小数，■的近似值是多少？保留5位小数呢？这里渗透了数学的逼近思想，教学中我们要鼓励学生充分探索，要留足时间让学生主动探索，在探索的过程中让学生经历、体会“无限”的过程，为得出“■是无理数”的结论作好铺垫。“■不是有理数”、“■有多大”这是本章教学的一个难点。所以，在教学过程中，我们不能舍去学生经历■不是有理数的过程，要通过交流、讨论、探索，引导学生描述和刻画■是怎样的数，让学生不仅感知“无理数的存在性”，而且感受引入新数的必要性。