四川省渠县渠江镇第三小学向往
【中图分类号】G661【文章标识码】A【文章编号】1326-3587(2012)07-0089-01
“数的整除”在“西师版”五年级数学教学中既是一个重点,又是一个难点。其中繁多的概念让学生甚至是教师都无所适从。它不仅涉及到概念之间联系紧密,并且很容易混淆。通过多年的小学数学教学,笔者对这部分内容做了十分仔细的总结和思考,现结合我平时的教学,对“数的整除”这一环节中几个问题做如下分析,以供广大同仁参考。
【问题一】
※整除与除尽有什么区别?
解答与分析:
1、整除:整数a除以整数b(b≠0),得到的商是整数,没有余数。我们就说a能被b整除,或说b能整除a,即“整除”的条件是被除数、除数和商都是整数。
2、除尽:两个数(整数或小数)相除,当商是整数或有限小数时,如:11&pide;5.5=2;3&pide;16=0.1875;7.5&pide;2.5=3等,我们就说,这些算式中的“被除数”能被“除数”除尽,或者说“除数”能除尽“被除数”。
显然,上面这些算式,不能说“被除数”能被“除数”整除,这是因为它们不符合“整除”的条件:“被除数、除数和商都是整数”。
例如:40&pide;8=5,可以说40能被8整除,也可以说40能被8除尽;然而4&pide;8=0.5就只能说“4能被8除尽”而不能说“4能被8整除”。
整除和除尽两者的关系,还可以用下面的集合图来表示:
【问题二】
※为什么不把1也看作质数?
解答与分析:
质数的特征是只能被1和它本身整除,而1也只能被1和它本身——“1”整除。那么为什么不把1也看着质数呢?原因是如果把1也作为质数,那么将给分解质因数带来混乱,破坏结果的唯一性。例如:把12分解质因数,就会出现无限多的结果:
12=2×2×312=1×2×2×3
12=1×1×2×2×312=1×1×1×2×2×3
………
为了保证分解质因数时结果的唯一性,所以,规定“1”不是质数。这样12以及其它合数分解质因数时就只有唯一的结果了。
【问题三】
※怎样快速判断两个自然数是互质数?
分析与解答:
我根据“互质的两个数只有公因数1”这个特点,在教学中总结出如下快速判断两个自然数是否互质的方法:
1、1和任何(非0)自然数互质。(注:教材是在非0自然数范围内研究整除的)
例如:1和8;1和47等。
2、2和任何奇数互质。
例如:2和11;2和57等。
3、相邻两个自然数互质。
例如:21和22;58和59等。
4、相邻两个奇数互质。
例如:11和13;17和19等。
5、两个不同的质数互质。
例如:17和13;83和23等。
6、较大数是质数的两个数。
例如:4和23;79和12等。
7、较小数是质数,较大数不是较小数的倍数的两个自然数互质。
例如:5和27;11和280等。
8、两个合数,较小数所有的质因数都不是较大数的因数,这两个数互质。
例如:12和3512=2×2×3而2、3都不是35的约数。12和35这两个数是互质数。
9、两个合数,它们的差得所有质因数都不是较小数的约数,这两个数是互质数。
例如:24和85,85-24=61,61不是24的因数,所以24和85这两个数是互质数。
〖注〗在判断两个自然数是否互质时,前5中方法使用较多。
【问题四】
※质数、互质数、质因数有什么区别?
解答与分析:
在自然数中除了1和它本身以外,没有其它的约数,这个自然数叫质数。(如20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19)
两个自然数,除了1以外,没有其它公因数时,称这两个数为互质。(也叫做“互素”)。互质的两个数叫互质数。(例如:4和15是互质数)
如果一个数的因数,这个因数本身又是一个质数,这样的因数就叫做这个数的质因数。例如:5和11都是55的质因数。
由此可知:
1、质数和质因数本身都是质数,而互质数的两个数却不一定是质数。例如:8和9是互质数,而8和9都不是质数。
2、质数是一个数;互质数是指两个数之间存在着某种关系;质因数则是一个数相对于另一个数而言,不能孤立存在。所以不能单独地说“某一个数是质因数”,“某一个数是质因数”。
以上几个问题,不仅是学生难以把握和区分的问题,也是广大教师在教学中应该引起注意的重点和难点。