解析几何中的简化运算

解析几何中的简化运算

◆杨福强

◆杨福强山东省平度开发区高中266700

在解析几何题目时，经常有这样的感觉，思路易找，但计算量太大，往往只开个头做不出正确结果。因而在教学中引导学生探索简便易行的方法降低运算量，是培养和提高学生分析解决问题能力的重要一环。

下面介绍几种简化解析几何运算的方法和技巧：

一、定义法

与圆锥曲线的焦点、焦半径有关的问题，可用定义简化解题步骤。

例1.已知双曲线16x2-9y2=144，设F1、F2为双曲线的左右焦点，设P在双曲线上且|PF1|.|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。

解：∵方程是-=1，∴a=3，c=5；

又||PF1|-|PF2||=6且|PF1|·|PF2|=32，

∴|PF1|2+|PF2|2-64=36，∴|PF1|2+|PF2|2=100，

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴∠F1PF2=90°。

二、点差法

与直线和圆锥曲线相交于弦的中点，与斜率有关的问题，运用点差法可获得简捷而巧妙的解题方法。

例2.已知抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一弦使它恰好被点P平分，求此弦所在的直线方程。

解：设弦的两端点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），斜率为k，

∵y12=6x1，y22=6x2，

两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2），

∴=。∵y1+y2=2，∴k=3，

∴所求弦所在直线方程为y-1=(3(x-4)，

即3x-y-11=0。

例3.已知椭圆+y2=1，求过点A（2，1）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。

解：设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），中点为（x，y），则：

+y12=1，+y22=1；两式相减得：

+（y1+y2）（y1-y2）=0

∴＋(y1+y2)=0，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y，

∴x+2y=0；又=，

∴x+2y=0，∴x2+2y2-2x-2y=0，

∴所求的弦中点的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0（夹在椭圆内的部分）。

三、几何法

在解决直线与二次曲线的问题时，若恰当运用平面几何性质可避免烦琐的运算。

例4.在直线L：2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆Q：x2+y2-4x=0引的切线长最短。

解：（x-2）2+y2=4，如图，设切点为A，∴∠PAQ=90°；∵|PA|2=|PQ|2-4，∴当|PQ|最小时|PA|取最小值。

这时PQ⊥l。∵PQ的方程是y=（x-2），

由，

可得P点坐标是

（-，-）。

四、对称法

解析几何中有许多题都涉及到对称，如光线反射、角平分线、中垂线等，巧妙运用对称可使思路清晰明了，问题化繁为简。

例5.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B与∠C的平分线分别是x=0和y=x，求直线BC的方程。

解：∠A关于∠B的平分线的对称点A1在直线BC上，同理点A关于∠C的平分线的对称点是A2也在直线BC上，而A（3，-1）关于x=0的对称点是A1(-3,-1)，点A（3，-1）关于y=x的对称点是A2(-1,3)，直线A1A2的方程是2x-y+5=0，即直线BC的方程是2x-y+5=0。

五、曲线系方程法

与两条曲线的交点或两直线平行或渐近线相同的双曲线等有关的问题，可合理运用曲线系方程避开烦琐的运算。

例6.一圆与直线x+y-2=0相切于点A（-1，3）且经过点B（0，1），求此圆的方程。

解：将点A（-1，3）记为点圆（x+1）2+（y-3）2=0，

则过直线x+y-2=0和圆（x+1）2+（y-3）2=0交点的圆系方程为：

（x+1）2+(y-3)2+λ（x+y-2）=0，

将点B（0，1）代入得λ=5，

∴所求圆的方程是x2+y2+7x-y=0。

例7.求证椭圆＋＝1与双曲线－＝1的四个交点共圆。

证明：∵经过两曲线交点的曲线系方程是：

（x2+4y2-20）+λ（x2-4y2-12）=0，

即（1+λ）x2+（4-4y）y2-20-12λ=0。

令1+λ=4-4λ，∴λ=。

代入得x2+y2=17，∴四个交点共圆。