浅析函数的定义域与思维品质

(整期优先)网络出版时间:2014-03-13
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浅析函数的定义域与思维品质

毛小勇

毛小勇江西省南城二中344700

思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现,包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一。函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的,然而在解决问题中不加以注意,常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则,所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域,否则所求函数关系式可能是错误的。如:

例1.某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为100m,求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式。

解:设矩形的长为x米,则宽为(50-x)米。

由题意得:S=x(50-x)。

故函数关系式为:S=x(50-x)。

如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量x的范围,也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时,S的值是负数,即矩形的面积为负数,这与实际问题相矛盾,所以还应补上自变量的范围:0<x<50。

即:函数关系式为S=x(50-x)(0<x<50)。

这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点,就体现出学生思维缺乏严密性;若注意到了定义域的变化,就说明学生的解题思维过程体现出较好的思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域,将会导致最值的错误。如:

以上例子说明了变量的允许取值范围是何等的重要,若能发现变量隐含的取值范围,精细地检查解题思维的过程,就可以避免以上错误结果的产生。也就是说,学生若能在解好题目后,检验已经得到的结果,善于找出和改正自己的错误,善于精细地检查思维过程,便能体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上,函数自变量增加时函数值随着增减的情况,所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性,应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称,如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称,则函数就无奇偶性可谈;否则要用奇偶性定义加以判断。

综上所述,在求解函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中,若能精细地检查思维过程,思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)、对解题结果有无影响,就能提高学生的质疑辨析能力,有利于培养学生的思维品质,从而不断提高学生的思维能力,进而有利于培养学生思维的创造性。