与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题

程彩英

陕西省西安市户县第六中学710300

一、圆上点与圆内（或圆外）点的最值问题

例1：已知圆x2+y2=4，点P（2，2），在圆上求一点A，使得点A离P最近，并求最近距离。

解：（如图）点P在圆外，连接OP并延长，交圆于A、B两点，则点A为所求，直线OP的方程：y=x。

由得。

∴点A（2，2）离点P（2，2）最近，且最近距离为22-2。

变式1：在例1的条件下，求一点B，使得离P最远，并求最远距离。

变式2：已知圆x2+y2=4，点P（1，1），在圆上求一点A，使得A离P最远，并求最远距离。

小结：在圆上找一点P，使得P离点A最近或最远，并求最值距离，分两类情况：

设圆心到点A的距离为d，

当点A在圆内时，|PA|max=r+d，|PA|min=r-d。

当点A在圆外时，|PA|max=d+r，|PA|min=d-r。

二、圆上点与圆的相离直线的最值问题

例2：已知圆：x2+y2=4，直线L：x+y-3=0。在圆上求一点A，使得A到L的距离最短，并求最短距离。

解：（如图）过O作直线OA垂直L，则点A为所求。直线OA的斜率为1，对应方程为：y=x。

由得。

∴点A（2，2）到L的距离最短，最短距离为2－２。

变式：在例2条件下，求一点B，使得B到L的距离最远，并求最远距离。

小结：对于圆上点与圆的相离直线的最值问题，在处理时先作出过圆心且垂直于该直线的直线，这条直线与圆交于两点，则这两点为所求。设圆心到直线的距离为d，则：最短距离=d-r，最远距离=d+r。

三、过圆内点的最短弦问题

例3：已知点P（1，1），圆x2+y2=9，求过点P且被圆截得的弦长最短的直线L的方程。

解：（如图）当直线L与直线OP垂直时所截得的弦最短，直线OP的斜率为1，则L的斜率为-1；代入点斜式得所求直线方程为：x+y-2=0。

变式1：已知圆（x-3）2+（y-4）2=4和直线kx-y-4x+3=0，当圆被直线截得的弦最短时，求k值。

变式2：求过点P（1，2）且把圆（x-2）2+y2=9分成两个弓形，当其中的劣弧最短时的直线L的方程。

小结：对于过圆内点的最短弦问题，在处理时应先作出以该点和圆心为垂径的弦，则该弦所在直线为所求直线。

四、利用圆的参数方程求最值

例4：已知圆x2+y2=9，求x+y的最值。

解：设圆的参数方程为,

则：x+y=3cosθ+3sinθ=32sin（θ+），

∴x+y的最大值为32，最小值为-32。

变式：已知圆（x-2）2+y2=9，求x+y2的最值。

小结：利用圆的参数方程求最值，可以把两个变量转化为一个变量，最终转化为三角函数求最值。此形式有两种：“一名一角一次”或“一名一角二次”。

五、可转化为直线斜率的一类问题

例5：已知实数x、y满足x2+y2=9（y≥0)且m=，求m的取值范围。

解：（如图）m可看成由圆上点（x，y）与定点P（-1，-3）确定的直线的斜率。

当过点A（-3，0）时，m=-；当过点B（3，0）时，m=。

∴m的取值范围：m≤-或m≥。

变式：曲线y=1+4-x2（-2≤x≤2）与直线y=m（x-2）+4有两个交点，求实数m的取值范围。

小结：此种类型形式多样，利用数形结合来处理。

六、线性规划中圆的问题

例6：已知：x、y满足三个条件：2x+y-2≥0，x-2y+4≥0，3x-y-3≤0。x2+y2在x、y取何值时取得最大（小）值？最大（小）值各为多少?

解：令x2+y2=a2，则可看成一个圆。

当圆与直线2x+y-2=0相切于点A（，）时，a2最小。

当圆过点B（2，3）时，a2最大。

∴当x=、y=，x2+y2有最小值。当x=2、y=3，x2+y2有最大值13。

变式：在例6的条件下求（x+1）2+y2的最值。

小结：线性规划问题一定要数形结合，该问题转化为圆问题只是其中的一种解法。

现对《与圆有关的最值问题》一文小结：不同类型要分清，数形结合是关键；最值情况先找到，求点坐标要联立。