一个不等式的推广及应用

一个不等式的推广及应用

张德清（广东省深圳市东湖中学518020）

【关键词】不等式；循环不等式；不等式的推广；循环不等式的推广Aninequalitypromotionandapplication

ZhangDeqing

【Abstract】Intheearlyteachingmatch,usuallywillpresentunexpectedlysome“inadisorderlyway”theinequalityprooftopic,wewillcallthemitthecirculationinequality.Thisarticlewascarriesoninacirculationinequalityfoundationseveraltimesexpandedabandons,thepromotiontoprovethatandunifiedtheinternationalexchangetopicwhichsomeformerlyconcernedtoexplainitssomeapplications.

【Keywords】Inequality;Circulationinequality;Inequalitypromotion;Circulationinequalitypromotion

在[1]的结尾，作者给出了这样一个不等式：

若x1,x2，x3,…,xn∈R+,n>k≥1,则

x1+x2+…+xkxk+1+xk+2+…+xn+x2+x3+…+xk+1xk+2+xk+3+…+x1+…+xn+x1+…xk-1xk+xk+1+…+xn-1≥nkn-k

此不等式在数学竟赛中应用很广，如较早的莫斯科竟赛题：

已知：a,b,c∈R+,求证：ab+c+bc+a+ca+b≥32。就是上述不等式中n=3,k=1时的情况。再如英国竟赛题：证明对任意正数a1,a2,…,an,n≥2,有∑ni=1ais-ai≥nn-1,其中s=a1+a2+…+an。就是上述不等式k=1时的特殊情况。此外还有许多与此相近的竟赛题，笔者经过研究，将它作了一些推广。

为了方便起见，以下均设s=x1+x2+…+xn,s1=xi+xi+1+…+xi+k-1(i=1,2,…,n),且xn+i=xi,x1,x2,…,xn均为正数。

【推广一】∑ni=1siαs-si≥nkn-k(∑ni=1siα-1n)其中α为不小于1的实数。

证明：设sij(j=1,2,…n)为s1,s2,…,sn的一个排列，且si1≥si2≥…≥sin,则有si1s-si1≥si2s-si2≥…≥sins-sin,且si1α-1≥si2α-1≥sinα-1

所以

∑ni=1siαs-si=∑nj=1sijαs-sij=∑nj=1(sijs-sij·sijα-1)≥1n(∑nj=1sijs-sij)(∑nj=1sijα-1)=1n（∑ni=1sis-si)(∑ni=1siα-1)≥1n·nkn-k(∑ni=1siα-1)=nkn-k(∑ni=1siα-1n

【推广二】∑ni=1siαs-si≥nkn-k(ksn)α-1,α∈N

证明：当α=1时，显然成立。

当α为不小于2的自然数时，由推广一及

α1n+α22+…+αmnm≥(α1+α2+…+αm)m)n,（其中αi>0，i=1,2,…,m)[为方便起见，后面将此不等式称为结论①]可得：

∑ni=1siαs-si≥nkn-k(∑ni=1siα-1n)

≥nkn-k·(∑ni=1sin=nkn-k·(ksn)α-1

x1α+…+xkαxk+1+…+xn+x2α+…+xk+1αxk+2+…+xn+x1+…

+xnα+…+xk-1αxk+…+xn-1≥nkn-k(sn)α-1

其中：α∈N且n>k≥1。

证明：当α=1时显然成立。

当α≥2时，由结论①及推广二可得推广三左端

≥1kα-[(x1+…+xk)αxk+1+…+xn+(x2+…+xk+1)αxk+2+…+xn+x1+…

+(xn+…+xk-1)αxk+…+xn-1]≥1kα-1·nkn-k(ksn)α-1

=nkn-k(sn)α-1

下面看几个有关的应用：

例1：设x1,x2,…xn都是正数，且x1+x2+…+xn=a,m,n∈N,n≥2

求证：

x1ma-x1+x2ma-x2+…+xnma-xn≥am-1(n-1)nm-2

证明：此式即为推广三中k=1，α=m，s=α的情形。

例2:设a,b,c都是正数，证明：a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2(第二届“友谊杯”国际数学邀请赛试题)

显然，此即这推广三中a=2,k=1,n=3时的特殊情况。

【推广四】

x1α+…+xkαxk+1β+…+xnβ+x2α+…+xk+αxk+2β+…+xnβ+x1β+…+

xnα+…+xk-1αxkβ+…+xn-β≥nkn-k(sn)α-β

其中α，β，t∈N,α=tβ,且α>2，β>2

证明：当α＝β时，令yi=xiα,i=1,2,…,n，此时不等式显然成立。

当α>β时，t>1，上式左端

＝（x1β）t+…+(xkβ)txk+1β+…+xnβ+＝（x2β）t+…+(xk+1β)txk+2β+…+xnβ+x1β

+…+＝（xnβ）t+…+(xk-β)txkβ+…+xn-1β

≥nkn-k(x1β+x2β+…+xnβn）t-1

≥nkn-k[(sn)β]t-1=nkn-k(sn)βt-β

=nkn-k(sn)α-β

【推广五】

已知xi∈R+,si=xi+…+xi+k-1(i=1,2,…,n),s=x1+…+xn,p>0

则有∑ni=1sips-si≥nkpn-k

证明：

∑ni=1sips-si=∑ni=1(sips1-sips)

=∑ni=1[sips+(sips)2+(sips)3+…]

=∑ni=1sips+∑ni=1(sips)2+∑ni=1(sips)3+…

≥∑ni=1sips+1n(∑ni=1sips)2+1n2(∑ni=1sips)3+…

=∑ni=1sips+1n(∑ni=1sips+1n2(∑ni=1sips)+…

=kp+1n·k2p2+1n2·k3p3+…=kp·11－knp=nkpn-k

例3:若0<a1,a2,…,an<1，a1+a2+…+an=a,则a11-a1+a21-a2+…+an1-an≥nan-a

显然，此即为推广五中p=1a,k=1时的特殊情况。

例4:已知正数a1,a2,…,an(n≥2)满足a1+a2+…+an=1。

求证：：a12-a1+a22-a2+…+an2-an≥n2n-1(往届巴尔干竟赛题)

显然，此即为推广五中p=2,k=1时的特殊情况。

例5：若a1,a2,…,an同号，a=a1,a2,…,an,则∑ni=1ai2a-ai≥n2n-1(往届西德竟赛题)

此即为p=2,k=1时的特殊情况。

例6：若a1,a,…,an同号，a=a1,a,…,an,nk>1，k∈N

求证：∑ni=1aika-ai≥nnk-1

证明：当ai同正时，显然为推广五中p=k,k=1时的特殊情况。

当ai同负时，∑ni=1aika-ai=∑ni=1-ai-ka=∑ni=1-aik(-a)-(-a)

此时，－ai>0,-a=∑ni=1(-ai)，又转化为同正的情况。

即p=k,k=1时的特殊情况。

类似的还有第23届IMO预选题：设ai∈R+(i=1,2,3,…,n)且∑ni=1ai=1,求s=a11+a2+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+…+an+1的最小值也可用推广五求出。

【推广六】∑ni=1siαps-si≥nkpn-k(ksn)α-1,其中α∈N,s=x1+x2+…+xn,si=xi+…+xi+k-1,(i=1,2,…,n),xn+i=xi,ps-si>0

证明：设sij(j=1,2,…,n)为s1,s2,…,sn的任一排列，且si1≥si2≥sin,则

si1ps-si1≥si2ps-si2≥…≥sinps-sin,且si1α-1≥si2α-1≥…≥sinα-1

∴∑ni=1siαps-si=∑nj=1sijαps-sij

=∑nj=1(sijps-sij·sijα-1)

≥1N(∑nj=1sijps-sij)(∑nj=1sijα-1)

=1n(∑ni=1sips-si)(∑ni=1siα-1)

由推广五及结论①，上式

≥1n·nkpn-k·1nα-2(∑ni=1si)α-1

=nkpn-k(ksn)α-1

特别地，当α=1时，即为推广五，当k=1,p=1时即

∑ni=1siαs-xi≥nn-1(sn)α-1为推广二中k=1时的特殊情况。

例7：设x1,x2,…,xn都是正数，且x1+x2,+…+xn=1,(n>1）。

求证：

x121-x2+x221-x2+…+Xn21-xn≥1n-1

此为推广六中p=1,s=1,k=1,α=2时的特殊情况。

【推广七】

x1α+x2α+…+xkαps-(x1+x2+…+xk)+x2α+…+xk+1αps-(x2+…+xk+1)+…+xnα+…+xk-1αps-(xn+…+xk-1)≥nkpn-k（sn)α-1

其中α∈N,n>k≥1。

证明：利用结论①,则上式左端

≥1kα-1[(x1+…+xk)αps-(x1+…+xk)

+(x2+…+xk+1)αps-(x2+…+xk+1)+…

+(xn+…+xk-1)αps-(xn+…+xk-1)]

=1kα-1(∑ni=1siαps-si)

≥1kα-1·nkpn-k(ksn)α-1

=nkpn-k(sn)α-1

最后，需要指出的是有关此类的不等式还可继续推广，如对分母的指数进行推广等，留给有兴趣的读者继续探讨。参考文献

［1］D.S.Mitrinovic,P.M.Vasic:分析不等式.赵汉宾译.广西人民出版社,P185写作小常识：

论文常见模式；总分式（或称总分总式）论说文的全文总体结构一般都是这种结构模式。论证方法一般都要在中心论点的统率下，确立几个从属于中心的，即为阐述中心论点服务的分论点，然后通过对分论点的逐一阐述，使中心论点得到深刻有力的证明。

因而论说文全文结构，往往是“总—分—总”式。议论文几乎篇篇皆是这种结构模式。