探究三角函数有效性教学

探究三角函数有效性教学

时坤明

江苏省淮安市清浦中学时坤明

三角函数的学习是对函数概念的深化，在高中数学必修一中学习了函数的基本概念，以及指数函数、对数函数等，与这些函数比较，三角函数是刻画现实世界中存在的某些周期性变化现象的数学模型。所以，要让学生通过学习，掌握三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具体周期性变化规律问题中的作用。

一、利用数学发展史引出三角函数

三角形诞生的很早，当时的用途就是观测天文。那个时候的人们为了生存，总是在寻找更好的地方，甚至要跨越千山万水，在出行过程中就是要确定方位。在18世纪以前，余割、正割、余切、正切、余弦和正弦，被定义成已知圆内和同一条弧存在管理的一些线段。也就是说，三角学是用几何的形式展现的，被称作是三角学最原始的理论。早在1748年，《无穷小分析引论》中尤拉表明：三角函数就是圆半径和一种函数线的比值。即在三角函数中随便的一个角都能够表示成圆心是其顶点，半径是特定长度的圆，从角的周边上的一点P出发，做一条垂直于这一点的直线PM，那么得到的就是线段OP，其中OM、MP彼此之间是存在比值关系的，也就是tanα=MP/OM，cosα=OM/OP，sinα=MP/OP等。假设半径的长度是1，这样6个三角函数就能够化简了。尤拉在他的书中所涉及的这个关于三角函数的定义具有一定的科学意义，他不在局限于静止的研究三角函数，能够动态的表示一个数值的变动所引起其他数值的变动，具有现实研究意义。所以，至今仍然被广泛的使用，并作为一种思想正在被人们进一步学习。

二、抓实抓牢三角函数的概念教学

三角函数的定义主要是正弦、余弦和正切，同角三角函数的基本关系（主要是sin2α+cos2α=1）。通过多年的教学实践，发现不需要让学生掌握八个公式，在复习时对这两个关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），利用这两个公式可以解决的一些题型让学生熟记于心，在复习这一知识板块时，不妨设计这样几个模块：

1.已知sinα（或cosα）求其余三角函数。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的原因：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。

2.在sinα+cosα，sinα-cosα，sinα，cosα三个式子中知道一个求其余。

3.已知tanα（cotα）求其他三角函数、对于分式都是关于正弦、余弦的一次或二次的齐次式的计算与化简。

诱导公式的灵活运用，对绝大多数学生来说都是会而不对，易错题让学生除了要深刻理解“纵变横不变，符号看象限”这个“口诀”，还要建立“负化正，大化小，化到锐角为终了”的思想，对于几个易错易混淆的几个公式，特别强化，如cos（-α）=cosα，sin（+α）=cosα与cos（+α）=sinα。其次，还要重视在三角形中应用诱导公式。

三、教学中渗透转化与化归思想

转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的思想方法。就是把未知的问题转化为已有知识范围内的问题的一种重要的思想方法，通过不断的转化，把复杂的问题转化为简单的问题。三角函数中的许多较为复杂的问题都可以通过化归转化得到解答。化归转化思想处理数学问题的实质是逐步将简单问题代替复杂问题、多种函数问题向单一函数问题转化、特殊问题向一般问题转化、抽象问题向具体问题转化等。转化时要特别注意问题的等价性。等价转化思想渗透于数学的各个部分，在三角函数中的渗透尤其明显，利用简化公式(诱导公式)将任意角三角函数转化为锐角三角函数，利用两角和差公式、二倍角公式将一些非特殊角转化为特殊角，利用三角公式将复杂的三角函数式转化为简单形式.在解题中注重培养和训练学生的转化意识，有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技巧。例如：已知3sin2α+2sin2β=sinα+2，求：sin2α+sin2β的取值范围。要注意转化的等价性，这里u=sinα取不到最小值-1。

四、对三角函数进行有条理的归纳总结

三角函数的公式非常多，往往让初学者无从下手。很多学生在过了一段时间后，会忘记这些基本的公式。但研究三角函数后会发现，其基本的公式是我们必须掌握的，任意角的转化，掌握了诱导公式，就可以将任意角的计算转化为0°～90°间角的三角函数。所以，三角函数的特点在于认真地归纳与总结，把一种较为复杂的状态转化为基本的状态，或者将较为简单的状态进行解决的过程。具体来说，我们表示函数习惯于用y=f(x)表示，其中x表示自变量，y表示函数，f表示对应关系。那么我们注意到：初中就学习了三角函数，但是没有说什么是自变量，什么是函数，只是在直角三角形中，定义了锐角α的正弦、余弦、正切。高中把角推广到任意角之后，给出三角函数的定义时，使用的角仍然为α，只是定义用解析角的终边上的任意一点的坐标和该点到原点的距离来定义，在研究三角函数的图像与性质的时候，才把正弦函数的解析式写成y=sinx，余弦函数的解析式写成y=cosx。

参考文献：

［1］1.张小禹浅谈高中三角函数教学[J]中学时代2011（8）.

［2］2.陈时炳三角函数在实际生活中的运用[J]广西教育（教研版）2010（6）.

［3］3.龙新游高中数学中三角函数教学有效性[J]新课程导学2011（10）.