数学实验教学刍议

数学实验教学刍议

项延行

关键词：新课程课堂教学；有效性；数学实验

作者简介：项延行，任教于浙江省苍南县仁英高级中学。

“数学很抽象，很难学。”很多学生都有这样认为。为提高学生学习数学的兴趣，降低数学问题的难度，很多教师煞费苦心。笔者多年从事一线教学，经长期实践摸索，从关注教师的教到关注学生的学，发现合理地采用实验的教学方法，是让学生喜欢数学，学好数学的一个新的出发点。高中新教材中也大量的编进各种数学实验来增强数学的生活性与趣味性，可以说数学实验教学观念的确立及数学实验这一措施的应用，也是素质教育在课堂教学中的生动体现。下面笔者结合个人教学体会及其他同行们的见解就数学实验教学的涵义、模式、过程和类型加以探讨。

一、数学实验教学的涵义与基本模式

1.本文所述的数学实验，是指教师面对教学中数学问题，根据其思维发展的脉络，充分利用实验手段尤其是运用现代教育技术，制作各种动画软件等实验素材，创设数学教学情景，设计系列问题增加辅助环节，引导学生通过操作、实践、试验，探索数学定理的证明、数学问题的解决，让学生亲自体验数学建构的过程。

2.数学实验教学的基本模式为：创设情境动手实验发现问题提出猜想验证猜想。即创设一定的教学情境，学生动手实验，发现问题，引起认知冲突，根据已有认知，提出猜想，然后在情境下再进行动手实验，在实验过程中，感悟数学，最后验证猜想的过程。

二、数学实验教学的过程

一般地，完整的数学实验教学过程可分为六个阶段：

1.课前预习阶段：实验前派发实验报告表或实验学案，要求学生事前了解实验的目标和预习实验所需的必备知识；2.实验设计阶段：教师、学生针对问题，设计并实施一定的实验步骤，清晰地表达问题、体验问题和理解问题；3.观察、分析与思考阶段：学生观察实验过程、分析实验结果和思考问题的结论；4.发现或猜想阶段：抽象、概括形成概念或提出假设、猜想；5.适当性检验阶段：在新的情境中检验所形成的观念或猜想的适当性和普遍性；6.完成实验报告阶段：填写好实验报告表或实验学案和完成后附的练习题。

当然，实际教学中根据问题的需要，数学实验没这么多过程，它可以在一节课的某一环节设计一个数学实验以达到教学效果，也可以设计成一节完整的数学实验课。

三、数学实验设计的几种类型

1.验证性数学实验

这类实验一般用于一些定理、公式和结论的验证和证明，模式为：命题—实验—验证与证明。数学学习中有许多内容是前人研究得出的结论，如一些定理，公式。这些内容中，有些我们不可能重新推证，有些能推证的又感到疑惑，为什么要这样证?怎么想出来的呢?特别是高中立体几何教学，新课程提出直观感知，操作确认，归纳结论，这就说明立体几何中好多定理需要的不是严格意义上的证明，而是在操作确认上面，而如何操作确认，也就是这里讲的验证性实验就需要我们去认真设计，帮助学生有效地理解，就拿立体几何中垂直判定定理的得出来讲就需要大量的操作验证：

如直线与平面垂直的定义是直线垂直于平面内的任意一条直线，可用书本来做实验，直立书本于桌面，观察书本的一条侧边与桌面的位置关系，再让同学们观察侧边与桌面上书页的边的位置关系，这样同学们很自然的接受这个定义，当然同学们常常把定义与这个命题：“直线与平面的无数条直线垂直”相混淆：，老师也可让同学们举例验证，让他们实际操作一下，加深印象，相信效果会很好的。

可以看到，这类实验操作对主体的主观认识能力要求不高，无须主体对实验所呈现的结果去选择和判断。在这个实验类型中，实验主体的认识作用实际上是缩小了的，实验结果不会以人的意志为转移，而作为实验的中介，如数学模型，计算机等作用是扩大化了的，这类实验的意义在于学生的元认知能力得到培养，实验过程中学生对自己的思维和行为会进行自我监控，但同时思维的严密性受到考验，传统的数学问题的解决只能在逻辑上加以确定，而在验证式的数学实验中，对答案的肯定与否定有了全新的方式。

2.解题性数学实验

这类实验一般用于问题解决，模式为：问题---实验----发现-----解决问题。面对高考，培养学生的解题能力是教学中的重点和难点。好多问题的解决难点是突破口的难以发现，或解决之后的不完整，这在教学中就要对某类问题进行形象深入的分析，应用数学实验教学能较好的突破该难点。

例如举个简单例子：

轨迹问题：自A(4，0)引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程。

学生简单思考后，老师可以借助实验来帮助解题。

利用几何画板，在电脑上动态地显示轨迹形成的过程，这样加深了学生对点动成线的理解和认识，同时揭示了轨迹问题的本质。通过在轨迹形成的过程中点P与其他点A(、B、C、M等)其他线(AC、OP等)关系的讨论，给出了多种解法，深化了学生对解轨迹问题切入口的认识。起到降低难度，强化重点的目的。当然，这一课不引进电脑辅助教学，学生也能求出方程x2+y2-4x=0，但对x的取值范围没有一个准确的认识，通过电脑的动态演示，使学生清晰地看到应是己知圆内的一段弧，引导学生明白要考虑x取值范围的必要性和重要性。有利于培养学生严谨的思考习惯及求实的作风。

这类实验的意义在于被实验的对象的“可视性”促成主体的深刻认识，通过实验，学生思维从抽象到形象，认识上会有个升华，可以说认知能从量变到质变的一个突变，如没有实验的帮助，解决这个问题似乎只能依赖经验了，由此看出实验的意义在于能突破现实的局限，抓住主要矛盾，在直观形象中揭示对象的本质和规律，它可以大大简化和纯化数学对象，利于发现问题的实质。

3.教学性数学实验

这类实验一般用于教学中的动态问题，如参数问题的讨论；数形结合问题；空间几何中的平移、旋转等问题。模式为：背景问题——实验：改变背景——验证与证明。传统教学模式下，教学内容往往是静态的，在CAI模式应用的早期，也较多地采用“演示”的手段，这种教学设计的中心仍是教材和教师，应倡导以学生的学习为中心的教学模式。

例如，在进行函数y=Sin(ωx+φ)的图像的教学时，传统教学只能将A、ω、φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图像之间的关系；利用《几何画板》则可以以线段b、T的长度和A点到x轴的距离为参数作图(如左图)，让学生拖动两条线段的某一端点(即改变两条线段的长度)时分别改变三角函数的相位和周期，拖动点A则改变其振幅，学生自己动手实验、观察、比较、归纳，亲自经历数学建构的过程，可以改变以讲授“现成结果”为特征的传统数学教学模式，体现了以教师为主导，学生为主体的教学原则。

这类实验本质上是为学生提供所要学的数学知识与已有的经验建立内部联结的实践机会。数学事实是客观的，可实践形式是主观的，所以这种实验进一步扩大了实验主体在认识过程中的作用，主要体现在认识主体选择，确定带有主观色彩的认识风格上。它能使经验材料经过数学抽象得以升华和结晶，以可以让数学结论有了经验积累，利于理解和记忆。

4.探究性学习数学实验

这类实验一般用于探索性问题、开放性问题的研究和研究性学习活动中，模式为：问题——探究——实验——提出猜想——证明。这种实验教学在高中教材中很是常见得，比如在高一数学教学中，函数的周期性与对称性关联较为密切，但同时又比较抽象，学生不容易发现，几年前，笔者听了瑞安中学戴海林老师的一节课，他就是采用数学实验的方式，让学生积极参与，主动探究，主动发现结论，并成功的证明了结论，整节课达到非常好的效果。

实验目标：探究抽象函数的对称性与周期性的关系

问题1：已知函数y=f（x）为偶函数且满足f（x+2）=f（-x）。试研究该函数的变化规律。并加以证明。

实验(1):若y=f（x）经过A（0.5,0.5)则f(x)在[-1,3]上的图像必还经过哪些点？

操作发现：

实验(2):若当x在[0，1]时，f(x)=x,试画出f(x)在[-1，3]上的图像，若在Ｒ上呢？有什么发现？

操作发现：

实验(3)：已知ｆ(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于x=1对称,它的变化规律

操作发现：

发现，猜想一般性结论：

提问2:若ｆ(x)是定义在R上的奇函数且f(x+2)=f(-x),试研究该函数的变化规律。并加以证明

发现，猜想一般性结论：

你能证明上述的结论吗？

整节课戴老师利用实验的手段，化抽象为具体，化学生的被动接受为主动的参与探索，使整节课显得非常轻松而有效。

数学实验就是把表现一个数学问题的各种元素构成一个程序，即构建成一个问题的“情境”，在这种情况下，由教师或学生对各元素进行有控制的操作，通过各种情境的变换去发现问题，去验证结论，发现新结论。先进的信息技术能使抽象的数学形象化，从而促进传统教学方式的根本变革，也就是促进以教师为中心的教学结构与教学模式的变革，从而达到培养学生创新精神与实践能力的目标。

（作者单位：浙江省苍南县仁英高级中学325800）

参考文献：

[1]郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教育出版社，1995.

[2]张马彪.对数学实验的探讨[J].数学通报，2002(7).