看似合情，思之无理

看似合情，思之无理

张军战

新沂市马陵山中学张军战

在翻阅有关初中数学习题资料或课堂听课中，时而会发现有个别教师或命题者在不经意间会想当然，出现了一些让人猛一听、乍一看似乎很自然、很合情，而静下心、细思想后便会发觉其实无依据、无道理，甚至是大错特错的问题或结论。虽说大都不是教材中的主要内容，但毕竟数学是一门特别讲究严谨，容不得半点错误的科学，作为数学教师理应坚持严谨的治学态度，绝不能糊弄学生，交给学生不严谨或错误的数学观点和方法，所以觉得还是选出三例在这里说出来，与大家商榷，供大家思考为好。

一、专业知识不精深导致的错误——在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，a的大小决定抛物线形状。

有的教师在引领学生学完抛物线的对称性、对称轴、顶点、开口方向等基本知识后，又补充引伸出“a的大小决定其图象——抛物线的形状，a越大，抛物线的开口越小；反之，a越小，抛物线的开口越大。”

很多人听后表示认同。可仔细思，我认为这一说法有失偏颇：

1．因该二次函数的定义域是全体实数，故抛物线是向左上（左下）、右上（右下）两方无限张开的，不存在开口大小问题。如一定要讲抛物线的开口宽度，也只能是在某一水平高度上谈论。

2．该二次函数无论a、b、c的取值如何，其图象——抛物线都是相似图形。

我们知道相似图形的概念是这样界定的：形状相同，大小不一定相等的两个或几个图形叫做相似形。换个说法，就是将其中的一个图形按一定的比例放缩后能和另一个图形完全重合。如，不管大小，所有的正方形都相似。

抛物线相似的情形与正方形相似情形一样。为浅显易懂，现仅以特例y=x2和y=2x2来说明。

可在抛物线y=x2上取关于y轴对称的两点A（1，1）、B（-1，1）（抛物线在点A处的切线斜率为2），分别向x轴作垂线段AD、BC，于是构造出矩形ABCD，该抛物线在其顶点处与矩形的边CD相切。类似地，在抛物线y=2x2上取关于y轴对称的两点A′（0.5，0.5）、B′（-0.5，0.5），（抛物线在点A′处的切线斜率也为2。与前者相同，这一点很重要），分别向x轴作垂线段A′D′、B′C′，于是构造出矩形A′B′C′D′，该抛物线在其顶点处与矩形的边C′D′相切。因为AB∶BC=2∶1，A′B′∶B′C′=1∶0.5=2∶1，所以两矩形相似，又在两矩形内部两抛物线上所有对应点处切线斜率均相等，所以说，两矩形内两段抛物线是相似的。该证明完全可以在任意两对应的矩形内进行（只要在点A、A′两处两抛物线的切线斜率相同即可），所以说两抛物线整体是相似的。

不难想到，再推广下去可得到：所有形如y=ax2的二次函数的图象——抛物线都是相似的。

二、治学态度不严谨产生的错误——利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的近似根。

有的教师在教这一内容时，认为课本中给出的思想方法太深奥、太繁琐，于是别出心裁、自以为是地抛给学生这样一个观点：如图1，假设一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x0，在x0的附近取两点x1、x2，求出它们在二次函数y=ax2+bx+c中对应的函数值y1、y2。如果y1＜y2，即y1比y2更接近于0，那么x1较x2更接近一元二次方程的根x0。

乍一听，似乎应该是这样的。其实这一观点也是错误的。

1．举例验证：有二次函数y=x2-1和一元二次方程x2-1=0。

显然，x=1是方程的一个根。

在二次函数y=x2-1中，当x=0.9时，y=-0.19；当x=1.095时，y=0.199025。

若按上述观点，因为-0.19＜0.199025，所以应说0.9较1.095更接近方程的一个根1。此结论显然是荒谬的，从而说明上述观点是错误的。

换一个角度考虑，我们在1的左右相距0.1个单位，分别取x1=0.9和x2=1.1，若按上述观点，它们所对应的函数值与0的差距（即绝对值）也应该相等，但事实不然，它们所对应的函数值分别为y1=-0.19和y2=-0.21，二者并不相等。由此也应该能推测上述观点是不合理的。

2．数学分析：像一次函数y=ax+b（a≠0）那样，其图象上各点斜率均为a，即函数值的变化率是定值a，在此情况下，上述观点是正确的；而二次函数y=ax2+bx+c其图象上各点处的切线斜率为2ax+b，是随x的变化而变化的，即函数值的变化率是随x的变化而变化的，在此情况下，上述观点是不能成立的。

三、对教材编写意图理解不精准造成的问题——利用数轴确定一元一次不等式组的解集。

有不少教师在命制有关解一元一次不等式组的试题时，常常是这样要求的：“解下列一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来。”

乍一听，似乎没有什么问题啊？可我认为这一要求提法是不合情理的，应该是“解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集”。

因为不等式组的解集是其中每个不等式解集的公共部分——属于较难理解的。解不等式组，首先要分别解其中的每一个不等式，然后把每个不等式的解集在同一数轴上表示出来，这样便可直观地看出它们的公共部分，从而确定不等式组的解集。这属于典型的数形结合这一思想方法的具体应用——“由形到数”，化难为易。

“解不等式组，并把解集在数轴上表示出来”，是先解不等式组，然后把不等式组的解集在数轴上表示出来吗？——“先数后形”，先难后易？这不是本末倒置吗？

反思与建议：

一、作为教师必须掌握更高层次的专业知识——只有站得高，才能望得远。

二、作为教师必须坚持十分严谨的治学态度——只有想得周，才能教得准。

三、作为教师必须注意领会教材的编写意图——只有看得透，才能说得对。