温度定向点在一维无限大物体对流条件下周期性导热问题中的应用分析

温度定向点在一维无限大物体对流条件下周期性导热问题中的应用分析

周游

中交第三航务工程勘察设计院有限公司上海200032

摘要：本文介绍了温度定向点在各类对流边界条件下传热问题中的应用，分析了温度定向点在一维无限大物体对流边界条件下周期性导热问题中的应用条件，并给出了具体的限制条件。

关键词：温度定向点；无限大；周期性；对流

1、温度定向点

在传热学第三类边界条件中，在任何时刻，物体表面温度分布的切线都通过一固定点，这个固定点就被称为温度定向点。以一维无限大平板非稳态导热问题为例，来说明温度定向点。假设有无限大平板初始温度为t0(x)，厚度为2δ，平板两侧被温度为tf、放热系数为h的流体冷却（如图1.1所示），其完整的数学描述如式1.1：

（式1.1）

式中：a为平板的导温系数，m2/s

λ为平板的导热系数，W/(m·K)

α为处温度分布的切线与正半轴成的角

τ为时刻，s

tf为流体温度，K

t0为初始温度，K

δ为半厚度，m

图1.1一维无限大平板非稳态两侧对流边界条件导热问题

观察处的边界条件，且对其做如下变化：

（式1.2）

且由图1.1可知，同时，联立上述两式，可得：。即任何时刻，平板表面温度分布的切线都通过点，这个点就称为温度定向点。在第三类边界条件中由于存在着温度定向点这一现象，涉及到第三类边界条件的复杂传热问题中，温度定向点能够起到一定程度的简化作用，能够更加方便的求出传热问题的解析解。

2、温度定向点在一维非稳态导热问题中的应用

在《高等传热学》[1]中给出了一维无限大平板非稳态导热问题的解析解，基本思路是利用叠加原理对非齐次的方程和非齐次的边界条件进行处理，将一个问题分解成若干个子问题，且各个子问题可以较易求解。下面给出具体例子进行说明温度定向点如何在此类问题中应用。

有无限大平板初始温度为t0(x)，厚度为2δ，平板右侧被温度为tf、放热系数为h的流体冷却，左侧壁面温度为tw（如图2.1所示），其完整的数学描述如下：

（式2.1）

从激励响应角度分析这一问题，边界条件可以视为该系统的激励，与之对应平板内部温度场可视为响应。平板内部温度分布是由两部分组成，第一部分为非稳态响应，由初始时刻平板内部的温度分布引起，这一影响随着时间推移而逐渐趋于0；第二部分为稳态响应，是由稳态导热过程引起，假设经过足够长的时间，平板内温度分布将成为一条直线。即平板内温度分布t(x)可以表示为：

（式2.2）

式中：t1表示非稳态响应，满足齐次的方程与齐次的边界条件

t∞为稳态响应，只满足齐次方程与非其次的边界条件

图2.1一维无限大平板非稳态一侧对流边界条件、一侧定壁温条件

导热问题

经过上述处理，对于t1可以利用分离变量法方便的求解。问题的关键转化为对t∞的确定，对t∞的求解可以等效求解：无限大平板厚度为2δ，平板右侧被温度为tf、放热系数为h的流体冷却，左侧壁面温度为tw稳态传热问题。利用温度定向点这一概念可以直接写出t∞的表达式，即平板左侧温度为tw,与此同时温度分布线过点,则易得：

（式2.3）

根据以上的分析，可以看出温度定向点在此类问题求解中的方便性，若不利用温度定向点求解，需要根据叠加原理、t∞需要满足的条件，解微分方程组来确定t∞的具体表达式。两者相较，温度定向点有明显的优越性。

3、温度定向点在一维周期性导热问题中的应用

文献[1]对一维无限大平板的周期性非稳态导热的分离变量解作了详细的分析，设壁面的过余温度，第一类边界条件下的温度场：

（式3.1）

式中：Aw为平板壁面温度波的振幅，℃

T为温度波的周期，s

a为平板的导温系数，m2/s

当边界条件变为第三类边界条件时，即给定流体侧温度波的变化，，继而在第一类边界解析解基础上进行对流边界条件的分析，由物理概念知，壁面温度必然随之按简谐规律变化，但振幅Aw应小于流体的振幅Af，且相位应比θf滞后一个数值。根据以上分析，令，c为壁面温度波动与流体温度波动振幅之比，进而根据第三类边界条件求得c与φ：

，（式3.2）

其中，即过余温度可以写作：

（式3.3）

以上是第三类边界条件下的精确解，是在严格推导得到的结果，此时是否能够利用温度定向点来对这一问题做简化？若要用温度定向点，则相当于在壁面上方附加厚度为λ/h的虚拟层，虚拟层上表面的温度即为流体的温度。则在平面上，壁面温度波为，则过余温度可以写作：

（式3.4）

对其进一步整理得:

（式3.5）

令,则θ可以进一步整理为：

（式3.6）

但需要注意的是，虚拟层并不存在，是人为假设的与壁面相同物性材料一层物质，实际上这一层是由流体充满。而且在周期性导热问题中，涉及到材料的储热，这样的假设必然会给结果带来误差，比较与，两式结构基本相同。将c与c’随着B变化在对数坐标上表示，如图3.1所示：

由图3.1可知，在B很小的情况下，c与c’两条曲线的差距很小，当B=0.5时，c=0.6325此时c’=0.6065，可以计算相对误差为4.1%。随着B增大，两条曲线发生明显的分离现象，当B继续增大到某一较大数值时，两条曲线都趋于0。可见在B≤0.5时，c数值上可以近似由c来计算，最大相对误差为4.1%，在工程上这一误差完全可以被接受。同理将φ和φ’随B的变化表示在对数坐标上，如图3.2所示：

图3.1c、c’随B变化图

图3.2φ、φ’随B变化图

由图3.2可知，在B小于0.1时，和两者吻合程度很好，当B继续增大时，两者出现明显的分离。当B=0.5时，φ=0.3218，φ’=.5000，计算相对误差为55.4%；当B=0.05时，φ=0.0487，φ’=0.0500，相对误差为5.2%。即在B≤0.05时，φ可由φ’近似而不失精度。

综上，在B≤0.05情况下，c和φ可分别由c’与φ’近似计算，也就是在B≤0.05时，温度定向点可在一维周期性导热问题应用，同时精度很高。对于一般的土壤周期性导热问题，周期T=8760h，由文献[2]中附录7，取土壤导热系数λ=0.5~1.5W/(m∙K),导温系数a=2×10-7~10×10-7m2/s。对流换热系数会发生季节性变化，假设最小对流换热系数值为20W/(m2∙K),根据以上数据，可得B的最大值为：

对于土壤周期性导热问题，温度定向点可以提供一种更为简单的算法，但在使用中要对应实际情况来计算无量纲数B。

4、结论

本文以一维非稳态导热问题为例，阐述了温度定向点的概念，并分析其在一维非稳态问题求解的优越性，避免根据叠加原理、t∞需要满足的条件，求解微分方程组来确定t∞的具体表达式。

通过对温度定向点在一维无限大平板对流边界条件下的周期性导热问题中的应用的分析，当无量纲数B≤0.05时，由温度定向点得到的结果精度很高。应用温度定向点这一简化的处理，适合应用在大部分土壤对流边界条件下的周期性导热问题。

参考文献

[1]孙德兴.高等传热学.北京：中国建筑工业出版社，2005.

[2]章熙民.传热学.北京：中国建筑工业出版社，2007.