谈谈三角函数概念的教学

谈谈三角函数概念的教学

许光文

——“承前启后，顺其自然”教学思想在教学中的应用

摘要：正值新一轮高中课改，它不仅给学生的发展提供了一个前所未遇的机会，也给教师能动地、创造性地利用教材营造了广阔的空间，是师生共同发展的理想平台。三角函数是高中数学重要的内容之一，是高中数学教学的重要组成部分，在新课改教育体制下，有效认识学生在学习三角函数概念当中遇到的问题，切实采取科学合理的教学策略，对培养学生思维、激发学生学习兴趣、提高高中数学教学质量具有重要意义。

关键词：迁移；四则运算；三角函数；单位圆；三角函数线；有向线段

心理学巨匠贾德(Juddl908)认为，在之前学习中所获得的东西，能迁移到以后的学习中去，是因为在前一种学习中获得了一般原理，这种原理可以部分地或全部地运用到以后的学习中。按照贾德的观点，两个学习活动之间存在的共同成分是产生迁移的必要前提，而产生迁移的关键是学习者在两种活动中概括出它们之间的共同原理。根据这一心理学理论，先前的学习会对当前的学习产生影响。

在现行的高中数学新教材中，不管是哪个版本的教材都涉及到三角函数的知识，而三解函数的概念则是三角函数整章内容的基础，它统领全章，是进入三角函数知识宝殿的“金钥匙”。可见，学生能否掌握好三角函数的概念是十分重要的。

根据贾德的迁移理论，对于“任意角三角函数”这一节的知识，在长期的教学实践中，笔者认为“承前启后，顺其自然”的思想，在具体的教学活动中起到了独特的课堂效果，下面谈谈如何实施这一教法思想：

一、承前启后

“承前”，在这里指的是学生以前所学过的知识；“启后”，就是由已学过的知识迁移到新的知识中去，开启新的知识。学生在学习三角函数概念之前，数学知识学了不少，但所掌握的数学知识往往是独立的、不联系的，缺乏对知识间进行归类、整合的能力。因此，“承前启后”可以使学生把新旧知识串起来，连成线，织成网，这样不但便于学生融会贯通地运用数学知识解决问题，更能使学生容易搭建起自己的数学知识体系，加强学习数学的信心和提高学习的效率。

在教学过程中，如果对三角函数概念引入不自然，学生就会感到知识来得非常突兀，这无异于要学生死记硬背，现在是什么年代啊？能不能用学生所学过的数学知识开启三角函数的概念呢？“问渠哪得清如许，唯有源头活水来。”

初等数学中很多概念都是在四则运算法则的基础上进行定义的。如集合中的并集运算就如同四则运算中的加法法则，补集就如同减法法则；还有数列中的等差数列就是减法法则，等比数列就是除法法则，还有等和数列、等积数列等等。这些概念都是建立在四则运算的基础之上的。如果教师在教学过程中能够引导学生去发现、去总结、去体会，这对于学生学习数学来说，远远不仅是激发学生学习数学兴趣那么简单。

在教材《任意角三角函数》这一节内容中，角的大小经过推广后，已经突破了锐角或钝角的范围，出现正角、零角、负角，用直角三角形来求任意角α的三角函数值已经不堪重负。教材中规定在任意角α的终边上任意取一点P(x，y)(坐标原点O除外)来求角α的三角函数值的。这样由点P(x，y)就产生了三个量：r、x、y(其中r=|op|=)。任意角α的三角函数是怎么定义的呢？其本质就是把这三个量：r、x、y，按照除法法则每次任取其中的两个量分别放在分式中的“分子”及“分母”位置而得，即：、、、、、，分别叫做正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，用符号：sinα、cosα、tanα、cotα、secα、cscα来表示，就这么简单。显然，任意角的三角函数也是根据四则运算中的除法法则来定义的。在教学活动中，教师如果能够善于利用知识间的关联，灵活运用“承前启后”方法引导学生展开学习，则对于学生来说，表面上看似抽象的知识就变得通俗易懂了。

二、顺其自然

“顺其自然”，顾名思义，就是顺应知识的需要。俗话说：“车到山前必有路，船到桥头自然直”。的确，世上的每一条路都有尽头，每一座山峦都会有顶峰，每一片汪洋都有边界，大自然的一切都在诠释着这样一个道理，凡事顺其自然，便可功到自成。前面提到的任意角三角函数的概念，我们得出：sinα=、cosα=、tanα=、cotα=、secα=、cscα=。根据三角形相似的知识，这六个三角函数值与点P在角α终边上的位置选取无关。在三角函数的几何表示即三角函数线中，对于课本中三角函数线的几何图形，学生往往存在疑问：为什么这样作图，理由何在？由此我们想到：三角函数线有没有“根”呢？如果有，“根”在哪里呢？找到其“根”，顺藤摸瓜，则其理必然，顺其自然也。角α三角函数中的六个比值都是以分数的形式出现的，对于学生来说，在计算中遇到分数，大多希望这个分数简单一点，如果复杂了学生就感到有困难，甚至算不出，计算能力差的更不用提了。因此，对于三角函数的六个比值，分子、分母取什么值的时候计算最简单，也许连算都不用算？这一问题学生立马就给你一个惊喜回答：分母为1的时候计算最简单。这就是顺其自然，“分母为1”就是三角函数线的“根”，这是顺其自然的必然。

对于任意角α的六个三角函数：sinα=、cosα=、tanα=、cotα=、secα=、cscα=，我们怎样作图才使得它们的分母恒为1呢？往下引导学生进入探究的阶段：

对于sinα=、cosα=，使分母恒为1就是使得r恒为1，即|OP|=1，由此只需满足点P到坐标原点O的距离恒为1即可。根据这一条件，学生自然地想到在角α上取一点P，使点P到坐标原点O的距离|OP|=1，而角α是任意的，它的终边可以绕着平面直角坐标系的原点O任意旋转，那么终边上的点P就画出了一个以坐标原点O为圆心，半径为1的单位圆。过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，则有向线段的数量值即为正弦线，有向线段的数量值即为余弦线。所以有sinα===，cosα===。

对于tanα=，为了使它的分母恒为1，即x恒为1，应该怎样实现呢？有了正、余弦线探究的基础，势必使这一问题的研究进入一个气氛更激烈的探究高潮，最后问题归结为过点A(1，0)作x轴的垂线，同时也是单位圆的切线。从而，角α分别在四个象限中的正弦线、余弦线、正切线就顺利地作出，具体如以下四个图所示：

对于cotα=，使它的分母恒为1，则应该怎样作图呢？根据正切线的作法，引导学生进行类比分析，用类似的方法也可以作出余切线来。还有正割线、余割线等都可一一地从图象上找出来，一览无余。

唯物辩证法告诉我们，世界上的一切事物、现象、过程都不是孤立存在的，都与周围其他事物、现象、过程存在这样或那样的联系，整个世界是相互联系的统一整体，而且，任何事物、现象、过程内部的各个部分、要素、环节、成分也是相互联系、相互影响的。在实施新课程改革的今天，高中数学教师应该充分按照新课程标准与考试大纲的要求，结合学生的学习特点和认知规律，在教学活动中努力揭示数学概念、法则和定理的形成、发展及本质，这样才能提高教育教学的质量。改革与发展是教育的永恒主题，让我们与改革同行，潜心研究、深入思考、不断探索、勇于实践，创造出具有生命力的教育，用激情和智慧去谱写教育教学的新篇章!

参考文献：

[1]吴庆麟等.认知教学心理学[M].上海：上海科学技术出版社，2001.

[2]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.

[3]王尚志等.整体把握高中数学新课程中的三角函数[J].中学数学教学参考，2008(7).

作者单位：广西崇左市宁明县宁明中学

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