探究创新，让数学课堂充满活力

探究创新，让数学课堂充满活力

叶传林

江苏省南京市临江高级中学211102

【案例描述】

课堂上，我PPT展示题目：“已知椭圆＋=1,M为椭圆上一动点，求点M到直线2x+y-10=0的距离最小值。”并提出问题：这是解析几何中的求最值问题，可以转化为代数最值问题，求此类最值关键是什么？根据以前函数的知识储备，很快有学生回答说：因为点M是椭圆上的动点，所以应当设出一个适当的自变量，然后表示点M到直线距离。我追问：对于本题来说，这个适当的自变量怎样选取？选取后怎样建立目标函数？

我进一步评价说：甲同学选取的自变量不太好，在消元的时候遇到了很大的麻烦，所以没有算出结果。乙同学是用参数方程讨论最值问题，借助于三角函数有界性及其优越的变换手段使问题易于解决。此时，我把做好的图一展示在投影仪上，并且把点M标出来（如图一）。

请同学们观察图一后，我又提出问题：点M具有什么特殊性？通过我的提问，同学们从图一上可以感觉得到点M具有特殊性，但似乎无法用语言描述自己的想法。我提议学生大胆讨论：如果将这个椭圆换为圆，则点M……这时我特意欲言又止，激发学生表达。大家一下醒悟过来，有不少同学兴奋地说：就是把直线L平移与椭圆相切时的切点，此时的切点M就是最短距离时的点。这时，我演示几何画板的动画，把直线平移至正好与椭圆相切的点M（如图二）。

我紧接着问大家：如何求出这个切点M的坐标呢？有学生站起来讲述了自己的想法，他说：可以设L的平行线L`：2x+y+m=0。我投影出计算过程：

我继续讲解，告诉大家本题的题干直接理解是求点到直线的距离，方法二是把点到直线的距离转化为平行直线间的距离。转化思想在数学学习以及解题时都具有重要的作用，同学们在学习中要勤于总结、积累。请大家继续观察，这时我演示动画，使直线平移至直线L″的位置（如图三）。

我继续引导：从上面的解题过程知m=5时点M到直线的距离最小，那么m=-5时，此时的直线L″与椭圆也是相切关系，此时的切点相对于直线L具有什么样的性质呢?学生抢答道：M`到直线的距离最大。我又请同学们猜想一下：点M与点M`有什么关系？这时，学生从图上观察容易猜想出点M与点M`关于原点中心对称，大家小声地说，期待着我给以肯定。这时，我用标尺演示了一下，正好关于原点对称（如图四）。

那么，怎样论证呢？于是我就请同学们求出点的坐标。十几秒钟，学生纷纷计算出M`（-，-）。到这个时候，大家异常兴奋，论证了自己的一个猜想，很是开心。我趁热打铁说：从本题看出椭圆上到直线的距离最小、最大值的点关于原点对称，也即椭圆的“直径”（过椭圆中心作直线，被椭圆所截的线段）的两端点。同学们回忆一下，圆上到与之相离的直线的距离的最小、最大的两点，是某条直径的两个端点。那么，由上面的学习内容，我们能否把圆上的这一性质类比推广到椭圆上呢？学生们兴奋地迎合说：应该能！

这是本节课的第二个合理猜想，当然也得严格论证，请大家思考论证的方法。这时，同学们互相在下面讨论，发表自己的意见……

案例反思：我们在教学中应该积极培养学生的创新能力，课堂上多设置探究型素材，埋下学生创新思维的种子，培养学生运用自学和探究获得的知识，学会举一反三，解决类似或相关的问题，从而牢牢掌握知识。要发挥学生的主体地位，采用多种探究方法，考虑到学生的实际能力，分层教学，给每个学生探究的权利和机会，使每个学生都能在探究中显示自己的才华，挖掘自己的内在潜力，获得新知、增长能力、体验解决问题后成功的喜悦，在训练中提升学生的探究能力。

2.已知：a+b=5，ab=2。求：（1）a2+b2；（2）（a-b）2。

3.982。

4.1022。

5.102×98。

6.x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k=______。

7.4x2+2mxy+9y2是一个完全平方式，则m=______。

8.要使a2+4成为一个完全平方式应加一项为______。

9.x+=5，求x2+的值。