“摸球问题”教学初探

“摸球问题”教学初探

马先花张春梅

山东滨州市惠民县孙武镇中学马先花张春梅

2010年暑假，我参加了山东初中教师远程教育培训，在专题六的专家的讲座中，有一个问题引发了我的极大的困惑和深深的思考。

专家在讲座中提到这样一个题目（这类题目曾在练习册中出现过）：

一个口袋中有形状、大小相同的2个黑球,3个红球,从中任取两球，

(1)一共有几种等可能事件？

(2)摸到的球都是红球的基本事件有几种？

(3)摸到的球都是红球的概率是多少？

(4)摸到的球都是黑球的概率是多少？

(5)摸到的球一红一黑的概率是多少？

讲座中及练习册给出的（1）（2）的答案是这样的：

解：（1）可能有的情况有：

红球1号，红球2号；红球1号，红球3号；红球1号，黑球1号；红球1号，黑球2号；红球2号，红球3号；红球2号，黑球1号；红球2号，黑球2号；红球3号黑球1号；红球3号，黑球2号；黑球1号黑球2号。

(2)摸到的球都是红球的基本事件有3种。

分析：此题答案中没有区分（红球1号，红球2号）与（红球2号，红球1号）的不同，所以有十种情况，但如果认为（红球1号，红球2号）与（红球2号，红球1号）是不同的，那么此题应该有20种等可能的情况，与答案给的10种情况不符。同样的问题就“（2）摸到的球都是红球的基本事件有几种？”这一问题的答案也将发生变化。但是，（3）（4）（5）这三问的答案不变，是否区分（红球1号，红球2号）与（红球2号，红球1号）并不影响每种事件发生的概率。

那么，在实际的教学中，应该怎么和学生解释呢？（红球1号，红球2号）与（红球2号，红球1号）究竟应该看成一种情况，还是看成两种情况呢？什么时候该看成一种况，什么时候要看成两种情况呢？（这个困惑实际上由来以久，自己一直没有想通，并且也曾多次和教研组的老师们探讨，但始终也没达成一致。因此在教学时很迷茫，自己不确定在教学时究竟怎么办？）

通过在网上和专家及各位老师的交流，我现在对这个问题有了新的认识：

第一：为了让每一个结果发生的可能性相等，要给红球和黑球分别标号，以下分别叫做红1、红2、红3、黑1、黑2。

第二：上面例题的“从中任取两球”说法模糊，这类题目对取法的描述应该更明确一些，因为不同的取法对应不同的实验结果。我总结了一下，这种题目共有以下情况：

（1）如果是一次取出两个球，可想像为将两球捆绑在一起，因此（红1，红2）与（红2，红1）是同一个整体，所以当作一种情况，也就是和球出现的顺序无关（实际上是高中的组合问题）。则所有可能情况有十种，红1红2，红1红3，红1黑1，红1黑2，红2红3，红2黑1，红2黑2，红3黑1，红3黑2，黑1黑2。可见，摸到的球都是红球的概率是310

（2）如果是分两次取球，一次取出一个，那么又应该分为两种情况：

(a)取出一个球后不放回。

此时，（红1，红2）与（红2，红1）是不同的，需要加以区分。也就是需要注意球的顺序，这实际是高中的排列问题。用树状图可以得到二十种可能的情况，由树状图可见，摸到的球都是红球的概率是310。与上一种情况比较发现，（红1，红2）与（红2，红1）的不同会导致所有可能的结果数与上面不同，但是（红1，红2）与（红2，红1）的不同并不影响摸到的球都是红球的概率。

(b)球取出后再放回。

此时，（红1，红2）与（红2，红1）是不同的，同样需要加以区分。用图表可以得到二十五种可能的情况，摸到的球都是红球的概率是925，因为摸出的球又放回，增加了（红1，红1）、（红2，红2）、（红3，红3）、(黑4，黑4)、(黑5，黑5)五种情况，所以所有可能的结果数有变化，两次都摸到红球的概率也有变化。但是，在这种情况下（红1，红2）与（红2，红1）的不同也不影响“两次摸到的球都是红球”的概率。

通过上面的分析，我们可以知道，在（1）和（2）的三种情况（红1，红2）与（红2，红1）的不同并不影响摸到的球都是红球的概率，原因在于（红1，红2）与（红2，红1）两种情况都符合问题“两次摸到的球都是红球”。

那么，什么时候（红1，红2）与（红2，红1）的不同会影响所求概率的结果呢？

（3）如果我们把问题改为“求第一次摸到红球1号，第二次摸到红球2号的概率是多少？”此时，再求概率时就体现出（红1，红2）与（红2，红1）的不同了，这时只有（红1，红2）满足要求。当然，这个问题只适用于（2）的两种情况，不适用于（1），因为（1）是只取一次，一次取出两个。这时（2）（a）的答案应该为120，而（2）（b）的答案则为125。

综上所述，我们在今后的教学中给学生出题时应该注意两点：

第一：题目中要清楚的说明两个球是如何取的，共有三种取法：一次同时取出两个；分两次取，取出后不放回；分两次取，取出后放回。如果取法描述不清，是很容易造成学生误解的。

第二：问题也要具体明确，要说清楚是“求摸到的球都是红球的概率是多少？”还是“求第一次摸到红球1号，第二次摸到红球2号的概率是多少？”注意引导学生理解两个问题中，（红1，红2）与（红2号，红1号）的不同对结果的影响。

在教学中教师只要能够注意上面的问题，那么学生在遇到这类问题时就一定会轻松应对。