活用外角妙解题

活用外角妙解题

林天国

关键词：三角形外角；角的大小；角的度数

作者简介：林天国，任教于福建省莆田第六中学。

三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线组成的角。它是平面几何的基本概念之一，而三角形外角性质在解决实际问题中有着广泛的应用，灵活应用它有助于提高我们的解题能力，恰当地用好外角，往往可以简化解题过程，起到事半功倍的效果。下面笔者结合例题予以分类剖析。

一、比较角的大小

例1如图1，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。试说明：∠BAC＞∠B.

分析：要证∠BAC＞∠B。由于∠BAC、∠B在同一三角形中，没有定理可用，必须找中间角转换。

解：∵∠BAC是△ACE的外角

∴∠BAC＞∠1

同理在△BCE中，∠2＞∠B

∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线

∴∠1=∠2

∴∠BAC＞∠B

注：涉及角的不等关系的问题常利用“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”

例2如图2，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE垂直AD,交AD

E，求证：∠ACE＞∠B.

证明：延长CE交AB于F，

∵AD是∠BAC的平分线。

∴∠1=∠2

又∵CE⊥AD

∴∠AEC=∠AEF=90°

在△AEF中，∠AFC=180°—（∠1＋∠AEF）

在△AEC中，∠ACE=180°—（∠2＋∠AEC）

∴∠ACE=∠AFC

∵∠AFC是△BCF的一个外角

∴∠AFC＞∠B

从而∠ACE＞∠B.

说明：利用已知条件，构造∠AFC作为桥梁。一方面它等于∠ACE；另一方面，它又是△BFC的一个外角，它应大于不相邻的任一内角，从而解决问题。

二、计算角的度数

例3如图3，在七星形ABCDEFG中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。

分析：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G七个角不在一个三角形中，需要利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”转化到一个三角形中。

解：由三角形的外角性质，得

∠1=∠C+∠F

∠2=∠B+∠E

∠4=∠D+∠G

∠3=∠4+∠A=∠D+∠G+∠A

从而

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠1+∠2+∠3=180°

注：本题中，所求的7个角很分散。直接求出它们的和很困难。因此，我们利用三角形的外角性质，把它们集中到一个三角形中，从而解决问题。

例4如图4，已知AB∥CD，若∠ABE=120°，

∠DCE=35°。∠BEC等于多少度？

解：延长BE交CD于F，

∵AB∥CD

∴∠BFC=180°—∠ABE=60°

∵∠BEC是△ECF的外角

∴∠BEC=∠DCE+∠BFC=95°

注：通过作图中的辅助线，把复杂的图形化归为基本图形，巧妙地把∠BEC转化为△ECF的外角，从而利用平行线性质及外角性质来解决问题。

三、证明角的关系

例5（1）如图5，把△ABC沿着DE折叠，使顶点C落在四边形ABED的内部，求证：∠1+∠2=2∠C。

（2）如图6，把△ABC沿着DE折叠，使顶点C落在四边形ABED的外部，其它条件不变，判断

∠1，∠2，∠C的关系，并证明你的结论。

分析：可用三角形的外角性质解题，所以本题（1）要构造三角形的外角

证明：（1）连接CC/，

∵∠1是△C/CD的外角

∴∠1=∠DCC/+∠DC/C

同理∠2=∠ECC/+∠EC/C

∴∠1+∠2=∠DCC/+∠DC/C+∠ECC/+∠EC/C

=∠DCE+∠DC/E

∵∠DCE=∠DC/E

∴∠1+∠2=2∠DCE

（2）∠1—∠2=2∠C理由：

由三角形外角性质可知：

∠1=∠C+∠3；∠3=∠2+∠C/

∴∠1=∠C+∠2+∠C/

∵∠C=∠C/

∴∠1=2∠C+∠2

即∠1—∠2=2∠C

注：在三角形中求角的关系时常用到三角形外角性质。若没有直接条件，就要添加辅助线构造出三角形的外角。

四、生产、生活中的应用

例6（1）如图7，∠1、∠2为△ABC的两个外角，

∠B=40°。试求∠1＋∠2的值，利用上述结论，解决下面的问题。

（2）如图8，在一条小河的一边修筑了两条路。设计要求：两条公路成30°的角，你如何检验这两条公路是否符合要求？

分析：由外角性质可知∠1、∠2、∠B之间存在一种特殊关系：∠1＋∠2==∠B+180°。因此从图8中通过测得两个角的度数，就可以判定是否符合要求。

解：（1）∵∠1、∠2是△ABC的外角

∴∠1=∠B+∠BCA

∠2=∠B+∠BAC

∴∠1＋∠2=∠B+∠BCA+∠B+∠BAC

=∠B+（∠BCA+∠B+∠BAC）

=∠B+180°

=220°

（2）由（1）可知，若设计符合要求，则

∠BAC+∠ACD=180°+30°=210°

因此只须测量两角的度数，即可判断。

注：这是利用外角解决生活中的实际问题，外角在实际生活中应用很广泛，它与其他知识结合，能解决许多生活中复杂的难题。

三角形外角的结论体现了角之间相等与不等的关系，它是进行与角有关的计算或证明的重要工具，在解题过程中，要善于从多个角度观察图形，在多个三角形中运用三角形外角的性质，并不断地总结方法和技巧，提高运用知识的能力。

参考文献：

[1]马忠林.数学教育评价[M].南宁：广西教育出版社，1998.

[2]马忠林.数学学习论[M].南宁：广西教育出版社，1996.

作者单位：福建省莆田第六中学

邮政编码：351111

WittilySolvingProblemsbyFlexiblyUtilizingExternalAngles

LINTianguo

Abstract:Thecharacteristicofexternalanglesintrianglesiswidelyappliedinsolvingmathematicsproblems.Someproblemscouldbesimplifiedintheirsolutionsifexternalanglesareappliedproperly.

Keywords:externalangleoftriangle;bigorsmallofexternalangle;degreeofexternalangle