高中数学变式教学的心理学浅议

高中数学变式教学的心理学浅议

刘兵生

刘兵生

摘要：在高中数学教学过程中常出现这样的现象：教师上课满堂灌，总担心知识点没有讲到；学生课后搞“题海战术”，总怕有题型没有见过。但结果往往是师生身心疲惫，效果却不好。而变式教学能较好地克服这一现象。教师在教学过程中积极优化备课，采用变式教学，引导学生对问题进行灵活变换，可使学生触类旁通，提高学生分析问题、归纳问题和解决问题的能力，进而减轻学生负担，大面积提高教学质量。

关键词：高中数学；变式教学；心理学

一、通过变式练习有助于学生掌握概念的本质特征

所谓变式练习，就是在其他有效学习条件不变的情况下，概念和规则例证的变化。具体来说，就是在知识习得阶段概念和规则正例的变化，它有助于学习者排除无关特征的干扰。在知识转化和应用阶段题型或情景的变化，将有助于学习者获得熟练解决问题的技能。值得指出的是，在概念和规则习得的最初阶段，宜设置与原先学习情景相似的问题情景进行练习，练习题之间要保持一定的同一性。随着知识的渐趋稳定和巩固，问题类型要有变化，可逐渐演变成与原先的学习情景完全不同的新情景，以促进学生概念和规则的纵向迁移。在学习了向量的运算后，对于三角形的重心、垂心、内心、外心学生认识模糊，可通过设计如下练习：

例1.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

变式1.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

变式2.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

变式3.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

变式4.三个不共线的向量满足，则O为的的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

变式5.（必修4课本102页）已知O为所在平面内一点，且满足。求证：点O是三条高线的交点。

以上题目直观看，都是应用向量加法的平行四边形法则结合三角形四心的定义，实际上难度是逐级增加的，例1直接应用向量加法的平行四边形法则便得重心，变式1过A点做BC边上的高AD，启发学生提出也可得重心，变式2注意到夹角B、C故两边同点乘可得垂心，变式3和4都是运用单位向量做菱形，都得到内心，但要注意变式4的方向相反。变式5展开便得。

通过以上变式，学生对向量加法的平行四边形法则的应用和三角形四心的定义就非常清楚，且形成一定的技巧，对概念的掌握就很深刻，对于其它的概念，教师可以引导他们自己动手，用类似的方法解决。

二、利用变式教学提高学生学习积极性，培养参与意识

传统讲课法中，教师把公式、定理的结论、推导过程、适用条件、适用题型原原本本地讲给学生听，激不起学生的兴趣。再加上听不懂，上课睡觉就成了经常发生的现象。变式教学主要是由教师提出问题后，其结果怎样、或如何解决都要学生做出回答，对学生具有挑战性，所以学生的学习兴趣大，再加上题目具有一定的梯度，人人都能动手，所以学习的积极性非常高。

例如：在学习完等差、等比数列，求数列的通项公式中，可以先进行复习巩固再进行变式探索

练习：当数列中满足，（），求数列通项公式

当数列中满足，（），求数列通项公式

变式1.

数列满足，（），求通项公式

思考：数列满足：首项为，（，，为非零常数），求通项公式

变式2.

数列满足，，（），求通项公式

思考：数列满足，，（），求通项公式

变式3.数列中，，求

变式4.已知数列中求这个数列的通项公式。

以上题目直观看，都是由递推公式求通项公式的问题，实际上难度是逐级增加的，练习中的两道基础题直接判断数列为等差等比数列，代入通项公式，或利用叠加、叠乘求通项公式。变式1启发学生等式两边配一个常数，构造出一个新的等比数列，进而解出通项，并思考此类型的递推关系求通项所配凑的常数与的关系。变式2再转化为变式1的类型即可。

变式3，

变式4解：

又形成首项为7，公比为3的等比数列，

则………………………①

又，

，形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列

则………………………②

①②

小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。

通过这一组变式题型的训练，有利于强化学生的化归转化的数学思想。变式教学中更明确、具体地体现了教师的主导地位和学生的主体作用，教师要命题，要指导学生解题，要组织学生展示解题的结果和进行讨论辨析，还要对数学知识和数学思想方法进行总结。

三、利用变式教学沟通知识的内在联系，促进知识网络的形成

在巩固练习和阶段复习时，精心设计一些有坡度、有联系的题组，沟通知识间的联系，有利于扩展学生原有认知结构，形成知识网络。做二次函数在闭区间上的最值的专题复习时，设计如下变式题型：

1.设，求的最值

变式1.已知的两个实数根，求的最值。

变式2.已知（上的最小值记为的表达式。

变式3.求在区间上的最大值

第1题直接利用图象或二次函数的单调性求出最值

变式1根据韦达定理可得，又由

变式2、变式3分别为定轴动区间和定区间动轴的问题，需要分三类进行讨论。

这组变式题目的设置，除了解决单个的数学问题外，通过几个问题的前后联系以及解决这些问题的方法的变化，形成一种更高层次的思维方法，以达到对问题本质的了解、问题规律的掌握、知识技能的巩固、思维的拓展与迁移等目的。这种题组并不是几个独立数学问题的简单组合，而是注重题目之间的内在联系，它们的解决能启示一种客观规律，能引导与启发学生掌握这种规律。

四、通过变式教学，培养学生思维的灵活性

思维的灵活性指思维活动的灵活程度，指善于根据事物的发展变化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法。学生思维的灵活性主要表现于：1.思维起点的灵活：能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。2.思维过程的灵活：能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径。3.思维迁移的灵活：能举一反三，触类旁通。

如何使更多的学生思维具有灵活特点呢？主要是以“发散思维”的培养提高思维灵活性。

在当前的数学教学中，普遍存在着比较重视集中思维的训练，而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。

(1)引导学生对问题的解法进行发散

在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。

<例>求证：

证法1：（运用二倍角公式统一角度）

通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：统一函数种类；统一角度；统一运算。

一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。

(2)引导学生对问题的结论进行发散

对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论．让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。让学生进行探索，然后相互讨论研究，各抒己见。

开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。

(3)引导学生对问题的条件进行发散

对问题的条件进行发散是指问题的结构确定以后，尽可能变化已知条件，进而从不同角度和用不同知识来解决问题。

一般学生总认为数学课单调刻板、枯燥无味，提不起精神，怕学厌学。作为教师若能经常进行变式教学，让学生参与其中，并在实际教学中不断积累教学资料，整理解题经验，总结解题规律，运用解题技巧，一定能切实有效的提高课堂教学质量，同时也能保证甚至提高学生良好的解题胃口，引导学生走进数学世界，畅游数学海洋，从而使学生真正达到“轻负担，高质量”的目的，使学生在解题的过程中游刃有余、事半功倍。

作者单位：江西省新余四中

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