浅谈初中数学解题反思

浅谈初中数学解题反思

董青会

董青会河北省灵寿县狗台乡中学

数学反思环节是提高数学能力的一条捷径，有了反思要求，就不会出现一味反复操练的盲目性，有了反思，就会既见树木，又见森林，就很容易把数学过程对象化，而不只是把数学看作就是一些过程，一些细枝末节。有了反思，就不停留在把过程、法则，当作无意义的符号游戏的认识上，有了反思，使学习观念不只停留在会算、会变形、会套公式的认识上，知道还有更重要的东西要学，那就是数学思维方法、数学语言的学习。

一、对易错习题的反思，进行解题过程的反思，写出反思的得失。

很多人建立了《易错习题本》，其实这就为进行易错习题的反思提供了很好的素材，客观地讲在解决数学问题时，不同程度地存在这样或那样的错误，因此，解完一道题后，适时进行反思是非常必要的。审查自己解题时是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否用特殊代替了一般，运算是否正确，是否马虎大意等等，真正认识到解题后反思的重要性，这种反思对学习成绩较差的学生作用较好。

例如，在学习平行线时，往往会出现同位角、内错角、同旁内角混淆的现象，尤其是在较复杂的图形中，原因有概念混淆的，但主要是我们不善于观察思考、不能抓住问题的特征造成的。此时教师要引导学生从什么角度去观察，比如先看两个角的两条边的位置，根据两边位置是否符合它们各自的概念，然后再根据概念确定是那一种角。当然解决本问题的方法不止此一种。

再如在解直角三角形的“应用举例”这一节时，可以完成4个题目。

1、在高为2cm，倾斜角为30°的楼梯表面铺地毯，求地毯的长度。

2、如图，梯形石坝的斜坡AB的坡度为i=1:3,坝高BC=2米，求斜坡AB的长。

3、数学课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图某生在A测对岸C，C在A北偏西30°的方向上，沿河岸向北行20米到B，再测C在B北偏西45°处，求河宽。

4、小明想测量电线杆AB的长度，AB与地面所成60°的角，他发现杆的影长恰好落在地面AC和斜坡CD上，CD与地面成30°的角，量得AC＝12米，CD＝6米，且此时高为3米的竖杆影长为4米，求电线杆的长度。

然后，启发学生对4个题目的解题过程进行类比性反思：

(1)归纳概括4个题目在解题过程中有何相同点？

(2)通过类比反思你发现了什么？

这几个题目，表面上虽有许多不同之处，但有如下几点相同：

(1)都是实际问题。(2)运用方程求解。(3)运用三角函数的定义。

(4)运用几何知识。

在此基础上，归纳并板书反思过程：实际问题——几何化——方程化——三角函数定义

通过对四个题目的反思，对解决这类问题更加清晰明了，并对反思的对象和方法有了初步的认识，理解和掌握反思的规律。

二、多种解题方法的反思，进行解题策略的反思，总结反思的方法。

有很多数学问题都有不同的解答方法，并且随着不断学习，知识的增加，解答同一问题的方法也会越来越多。反思在于不断增强反思的意识，掌握反思问题的一些方法，培养反思问题的习惯，从而发展思维。对数学问题多种方法的探究不是单纯为了凑解题方法的数目，而是通过不同的观察侧面，思维触角伸向不同方向，不同层次，发展发散思维能力，为将来会学数学，学好数学奠定基础。

如：在学习四边形内角和时，看下面的问题：

1、图（1）中作对角线AC、BD能求出四边形ABCD的内角和吗？

2、图（1）中如果在四边形ABCD的内部任取一点P，连结PA、PB、PC、PD能得到几个三角形？根据这些三角形，你能求出四边形ABCD内角和吗？

通过探索并解答，最后在反思的基础上进一步提炼，不断的开发思维，提出新的问题，从根本上提高数学能力。

通过思考很快得以解决，在此顺势思考“图中的点P可不可以移动，移动后是否还可以推出四边形内角和？”

方法1:如图（2）在AB上任取一点P，连结DP、CP

∠A＋∠B+∠BCD+∠ADC

＝(∠A+∠1+∠7)+(∠2+∠3+∠6)+(∠4+∠B∠5)-(∠5+∠6+∠7)

＝180°+180°+180°-180°

＝360°

方法2：如图(3)在四边形外任取一点，连结AP、BP、CP、DP

∠BAD＋∠ABC+∠BCD+∠ADC

＝(∠DAB+∠8+∠7+∠1)+(∠2+∠3+∠6)

+(∠4+∠CBA+∠9+∠5)

-(∠8+∠9++∠5+∠6+∠7)

＝180°+180°+180°-180°

＝360°

方法3：如图(4)在AB延长线上取一点P，

连结DP、CP

∠A＋∠ABC+∠BCD+∠ADC

＝∠A+∠3+∠4+∠5+∠5+∠BCD+∠1+∠2

＝(∠A+∠1+∠5)+(∠2+∠3+∠4+∠BCD)

＝180°+180°

＝360°

方法4：如图(5)在DB延长线上取一点P

∠A＋∠ABC+∠C+∠ADC

＝∠A+∠4+∠3+∠C+∠2+∠1

＝(∠A+∠1)+(∠2+∠C)+∠3+∠4

＝∠6+∠5+∠3+∠4

＝360°

方法5：如图(6)延长AB、DC交于P

∠A＋∠ABC+∠BCD+∠D

＝∠A+(∠1+∠P)+(∠2+∠P)+∠D

＝180°+180°

＝360°

如果我们对上面的解法仅停留在“一题多解”操作面上，那就是“进宝山而空还”，错过提炼精华的大好时机，甚至还会使众多信息的干扰之下，反而，连一个基本的解法都掌握不了。因此，应该分析上述图中众多解法所体现的数学思想方法及本质联系。

从数学思想方法上看：

1、化归的思想方法。

都是通过辅助线将四边形内角和化归为三角形内角和。

2、分解与组合、数形结合的思想方法。

如图中的分割、转移、合并、代数式的拆项、交换与结合。

3、不变量思想。

如角A、B、C、D变化，但和不变。

从众多解法的关系上看：化归时，做辅助线的方式千差万别，有多有少，但本质上都是先取一个点（P），然后将这个点与四边形的顶点（A、B、C、D）连线。点P与四边形的位置关系是共同本质。

整个过程重点是：数学本质、数学思维、问题解决中化归思想的提炼。

从以上几个案例，我们可以看出，落实解题后的反思，对提高数学思维能力有其重要的意义，它是由知识到能力的一条必由之路。