“问道于零”是数学教师的基本功

“问道于零”是数学教师的基本功

马效华吴艳萍

马效华吴艳萍（潍坊科技学院山东潍坊262700）

已故数学家付仲孙先生曾说过：“在中学教代数，把根本的概念的难关通过了以后，每遇到困难既问道于零可耳。当教师的人，能对零谨慎小心，则受福无量矣！”这段话何等深刻，使人深受启迪。

零，这个数是实数中既简单又特殊的数，它使我们教数学的人和学数学的人经常受困，稍不留神就会陷入死胡同，直接影响问题的解决，甚至会得出错误的结论。因而教师在教学中首先要防范于未然，在解题中，对问题中的某些数、式能否取零的情况进行必要的剖析。讨论和研究是培养训练学生“问道于零”的良好途径，这样做能促进学生全面、周密而不遗漏地思考问题的好习惯，从而培养学生分析和解决问题的能力。

一、课堂讲解清楚细致，突出重点。

如在讲“绝对值”这个重要概念时，要注意数形结合，强调指出一个数的绝对值就是这个数与原点0的距离。应多在图上选些点，让学生反复练习，强调指出数零与原点0的距离是零，因而数零的绝对值就是零。那么正数和零的绝对值就是它本身，负数的绝对值则是它的相反数。

在讲解幂的运算时，涉及到相同的两个幂相除，法则是：底不变，指数相减为零，结果是1。因而会推广为任何数的零次幂为1。这里教师必须先入为主地提出0n无意义，因为在上面的法则中，0是不能作分母的，法则对它不适用，这就是零的特殊性。

在讲指数函数和对数函数时，对零尤其要特别重视。指数函数的一般形式是y=ax（a＞0，且a≠1），其中x是自变量，a称为指数函数的底；对数函数的一般形式为y=logax（a＞0，且a≠1），表示以a为底的x的对数函数。在这两个函数的定义中，都有“a＞0，且a≠1”这个非常重要的附加条件，要向学生指出为什么要求a＞0且a≠1，可举例说明如果a≤0且a=1将会是什么样的情况，让学生真正弄清楚括号中的附加条件在函数定义中的重要性和必要性。

这样学生对两个基本对数logaa=1（a＞0，且a≠1）和loga1=0（a＞0，且a≠1）以及换底公式logab=（a、b、c＞0，a≠1，c≠1）中的附加条件就容易理解了，为后续课的学习打下了良好的基础。

在讲集合概念时，会出现学生将空集与数零混淆的情况，这一点教师要尤其重视，数零只能是作为集合中的元素出现，而空集是一个集合，在集合中的地位相当于数零在实数中的地位,但绝不能等同数零，它有自己特定的符号φ或{}，千万不能用数零去表示空集。注意到以上问题的症结之所在，先打预防针，自然可以减少发生错误的机率，避免出现不该出现的错误。

二、课堂加强训练，培养学生周密思考问题的能力。

在讲解相关内容时，可有意识出一些题目让学生练习。如：

1.若|x|=x,则x的取值范围为x＞0，对不对？为什么？

2.0n=0，对不对？为什么？

3.00=1，对不对？为什么？

4.{}=0，{0}=0，{0}=φ，对不对？为什么？

5.任意两个互为倒数的积必为1，对不对？为什么？

6.任意两个相反数的商必为-1，对不对？为什么？

7.一个矢量，它的大小和方向都唯一确定，对不对？为什么？

8.函数y=在定义域内是单调下降的，对不对？为什么？

9.函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线，对不对？为什么？等。

在以上提问中出现错误,其症结是对零这个至关重要的数关注力度不够。教师在教学中要有意识地训练，以引起学生的重视。

三、辨析错题错解，提高鉴别能力。

在数学的证明和解题中，对就是对，错就是错，来不得半点含糊。为了培养学生勤于动脑、经常问道于零善于辨析真伪的习惯，提高识别能力，要有意识地收集一些书刊中不易察觉的有关于“零”的错题和错解，有针对性地将它们穿插到不同内容的课堂教学中去，让学生自己观察、思考、鉴别，然后去提高自己的判断力和解题能力。

例如课本中常见的一个题目：若（z-x）2-4(x-y）(y-z)=0，则x、y、z成等差数列。此题有许多解法，下面的思路是解法之一：若将(z-x）、（x-y）、（y-z)分别看作a、b、c，则已知条件为“b2-4ac=0”。联想到它与一元二次方程根的判别式形式上一致，这启示我们，可将已知条件(z-x)2-4(x-y）(y-z)=0视为关于t的二次方程(x－y）t2+(z-x)t+(y-z)=0有相等实根的判别式。这时我们不难发现上述方程系数和为零，故方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0的重根为1。根据韦达定理得：t1t2==1，则2y=x+z，所以x、y、z为等差数列。

分析：在上述解法中，表面看来，有条有理，而事实上却忽视了一个重要的因素——在一元二次方程at2+bt+c=0中的二次项系数为a≠0这个必要条件，因而造成了失误。该题的解可分两步进行。第一步，当x-y≠0时，上述解法成立；第二步，当x-y=0时，由条件(z-x)2-4(x-y）(y-z)=0可推出x=z，则x=y=z，即2y=x+z，所以x、y、z亦成等差数列。还可进一步引导学生：是否可将y-z看成一元二次方程的二次项系数？若可能则如何分析此题？

对于上述训练，一方面能引起学生小心谨慎对待零的警觉，另一方面也增强了少解错题的免疫力，起到了防微杜渐、防患于未然的作用。