（λ，μ]——直觉模糊线性(仿射)变换

（λ，μ]——直觉模糊线性(仿射)变换

◆李学军

◆李学军葫芦岛市第一中等职业技术专业学校125001；王晓红辽宁省葫芦岛市实验高中125001

摘要:在(α，β)——直觉模糊线性变换和(α，β)——直觉模糊仿射变换的基础上,推广得到（λ，μ]——直觉模糊线性变换和（λ，μ]——直觉模糊仿射变换；通过模糊集的平移给出了（λ，μ]——直觉模糊线性变换和（λ，μ]——直觉模糊仿射变换之间的关系。

关键词:（λ，μ]——直觉模糊线性变换（λ，μ]——直觉模糊仿射变换关系

：在模糊向量空间和模糊仿射空间理论研究的基础上,文献[1]提出了模糊线性变换的概念,文献[2]提出了模糊仿射变换的概念并研究了模糊线性变换与模糊仿射变换的关系。文[3]利用文献[4]中提出的直觉模糊点定义，研究了直觉模糊仿射空间和直觉模糊子空间，给出了直觉模糊线性变换和直觉模糊仿射变换的概念，并对二者的关系进行了的讨论。文[5]利用文[6]提出的三值模糊集给出了直觉模糊向量子空间和直觉模糊仿射空间的定义,对直觉模糊线性变换和直觉模糊仿射变换进行了重新定义,并研究了二者之间的关系。文[7]给出了（α，β）——直觉模糊向量子空间的定义,并研究了（∈，∈q）——直觉模糊向量子空间的基本理论。在此基础上,文[8]定义（α，β）——直觉模糊仿射空间,讨论了（∈，∈q）——直觉模糊仿射空间的相关性质。文[9]在文[7,8]的基础上,给出了（α，β）——直觉模糊线性变换和（α，β）——直觉模糊仿射变换的定义及基本性质,分别得到三种有意义的（α，β）——直觉模糊线性变换及仿射变换。

本文进一步推广得到了（λ，μ]直觉模糊线性变换和（λ，μ]——直觉模糊仿射变换,并通过模糊集的平移给出了两者之间的关系。

一、预备知识

在本文中,E表示R上的一个向量空间;s∧t（s∨t）意味两个实数s与t取小(大)。

设B是E上的一个模糊子集，若对任意t∈（0，1]及z∈E，B满足“x=z时,B（z）=t;否则B（z）=0”，则称B为一个模糊点,记作xt。

根据模糊集的扩展原理,模糊点的加法运算与数乘运算定义如下:

xs+yt=（x+y）s∧t，kxs=（kx）s

其中x、y∈E，s、t∈（0，1]，k∈R。

对于一个模糊点xt和一个模糊集A,如果A（x）≥t,则称xt属于A,记为xt∈A;如果t+A（x）>1,则称xt重于A,记作xtqA;xt∈∧qAxt∈A且xtqA;xt∈∨qAxt∈A或xtqA。

称三重组A=（E，μA，νA）为E的一个直觉模糊集,如果映射μA，νA:E→[0，1],满足μA（x）+νA（x）≤1，∨x∈E。

定义1.1[10]：

设A=（E，μA，νA）为一个直觉模糊集,a∈[0，1]，

1μA（x）≥a

令Aa（x）=μA（x）<a≤1-νA(x)，

0a>1-νA(x)

1，a+μA（x）>1

A[a]（x）=，νA（x）<a≤1-μA（x）。

0，νA（x）≥a

则称Aa与A[a]分别为A的a-截集与A的a-强上重截集。

由此可见,{Aa（x）|x∈E}{0，，1},将取值为0、、1的模糊集称为三值模糊集。

定义1.2[11]：

(1)[xa∈A]、[xaqA]分别表示xa属于A的程度和xa重于A的程度，且[xa∈A]·Aa(x)，[xaqA]·A[a]（x）。

(2)[xa∈∧qA]、[xa∈∨qA]分别表示xa属于且重于A的程度和xa属于或重于A的程度,且[xa∈∧qA]·Aa（x）∧A[a]（x），[xa∈∨qA]·Aa（x）∨A[a]（x）。

定义1.3[12]：

设A=（μA，νA）是E上的一个直觉模糊集,则A称为E上的一个直觉模糊向量子空间,如果对∨a、b∈R及x、y∈E，有μA（ax+by）≥μA（x）∧μA（y），νA（ax+by）≤νA（x）∧νA（y）。

定义1.4[12]：

设A是向量空间上的一个直觉模糊子空间，A称为E上的一个直觉模糊仿射空间，如果对∨x，y∈E，a∈R有μA（ax+（1-a）y）≥μA（x）∧μA（y），νA（ax+（1-a）y）≤νA（x）∨νA（y）。

文[13]给出模糊集平移的定义如下：

设x0∈E,A是向量空间E上的直觉模糊集,A的平移x0+A定义为x0+A={<x，μx0+A（x），νx0+A（x）|x∈E}。

其中μx0+A（x）=μA（x-x0）,υx0+A（x）=υA（x-x0）。

定义1.5[9]：

线性变换φ：Rn→Rm为Rn上的直觉模糊子空间A到Rm上的直觉模糊子空间B上的（α，β）——直觉模糊线性变换,如果对任意的x、y∈Rn，k∈Rs，t∈（0，1]有[((φ（x））s+((φ（y））t）ββ]≥[xsαA]∧[ytαA];[((φ（x））s）ββ]≥[xsαA]。

定理1.1[9]：

（1)φ为A到B上的（∈，∈）——直觉模糊线性变换μB（φ（x）+φ（y））≥μA（x）∧μA（y），μB（kφ（x））≥μB（x）;νB（φ（x）+φ（y））≤νA（x）∨νA（y），νB（kφ（x））≤νB（x）。

(2)φ为A到B上的（∈，∈∨q）——直觉模糊线性变换μB（φ（x）+φ（y））≥μA（x）∧μA（y）∧0.5，μB（kφ（x））≥μB（x）∧0.5;νB（φ（x）+φ（y））≤νA（x）∨νA（y）∨0.5，νB（kφ（x））≤νB（x）∨0.5。

(3)φ为A到B上的（∈∧q，∈）——直觉模糊线性变换μB（φ（x）+φ（y））∨0.5≥μA（x）∧μA（y），μB（kφ（x））∨0.5≥μA（x）；νB（φ（x）+φ（y））∧0.5≤νA（x）∨νA（y），νB（kφ（x））∧0.5≤νA（x）。

定义1.6[9]：

仿射变换φ：Rn→Rm为Rn上的直觉模糊仿射集A到Rm上的直觉模糊仿射集B上的（α，β）——直觉模糊仿射变换,如果对∨x，y∈Rn，a∈R，s，t∈（0，1]有:[（a（φ（x））s+（1-a）（φ（y））t）ββ]≥[xsαA]∧[ytαA]。

定理1.2[9]：

(1)φ为A到B上的（∈，∈）——直觉模糊仿射变换μB（aφ（x）+（1-a）φ(y))≥μA（x)∧μA（y);νB（aφ（x）+（1-a）φ(y))≤νA（x)∨νA（y)。

(2)φ为A到B上的（∈，∈∨q）——直觉模糊仿射变换μB（aφ（x）+（1-a）φ(y))≥μA（x)∧μA（y)∧0.5;νB（aφ（x）+（1-a）φ(y))≤νA（x)∨νA（y)∨0.5。

(3)φ为A到B上的（∈∨q，∈）——直觉模糊仿射变换μB（aφ（x）+（1-a）φ(y))∨0.5≥μA（x)∧μA（y);νB（aφ（x）+（1-a）φ(y))∧0.5≤νA（x)∨νA（y)。

二、（λ，μ]——直觉模糊线性(仿射)变换

我们将上述三种直觉模糊线性(仿射)变换推广为（λ，μ]直觉模糊线性(仿射)变换。

定义2.1：

设A=（μA，νA）、B=（μB，νB）分别是Rn和Rm上的直觉模糊子空间,φ：Rn→Rm为线性变换,如果对∨x，y∈Rn,λ,μ∈[0，1]，k∈R，λ<μ有μB（φ（x）+φ(y))∨λ≥μA(x)∧μA(y)∨μ;μB（kφ(x))∨λ≥μB(x)∧μ;νB（φ（x）+φ(y))∧(1-λ)≤νA(x)∨νA(y)∨(1-μ);νB（kφ(x))∧(1-λ)≤νB(x)∨(1-μ),则称φ为A到B上的（λ，μ]——直觉模糊线性变换。

定义2.2：

设A=（μA，νA）、B=（μB，νB）分别是Rn和Rm上的直觉模糊仿射集,φ：Rn→Rm为仿射变换,如果对∨x，y∈Rn,a∈R，λ,μ∈[0，1]，λ<μ有μB（aφ（x）+(1-a)φ(y))∨λ≥μA(x)∧μA(y)∧μ;νB（aφ（x）+(1-a)φ(y))∧(1-λ)≤νA(x)∨νA(y)∨(1-μ)，则称φ为A到B上的（λ，μ]——直觉模糊仿射变换。

从上面两个定义可看出:当λ=0,μ=1时,φ为A到B上的（0，1]直觉模糊线性(仿射)变换φ为A到B上的（∈，∈）——直觉模糊线性(仿射)变换;当λ=0,μ=0.5时,φ为A到B上的（0，0.5]——直觉模糊线性(仿射)变换φ为A到B上的（∈，∈∨q）——直觉模糊线性(仿射)变换;当λ=0.5,μ=1时，φ为A到B上的（0.5,1]直觉模糊线性(仿射)变换φ为A到B上的（∈∨q，∈）——直觉模糊线性(仿射)变换。

定理2.1：

设A,B分别是Rn和Rm上的直觉模糊子空间,φ：A→B为(λ，μ]——直觉模糊线性变换,则φ+b：A→B+b为(λ，μ]——直觉模糊仿射变换,其中b∈Rm。

证：易知A，B+b分别为Rn和Rm上的直觉模糊仿射集。

φ+b是从Rn到Rm上的仿射变换。事实上,因为φ：Rn→Rm为线性变换,故对∨x，y∈Rn,a∈R有：

(φ+b)(ax+(1-a)y)

=φ(ax+(1-a)y)+b

=aφ(x)+(1-a)φ(y)+ab+(1-a)b

=a(φ+b)(x)+(1-a)(φ+b)(y)；

所以φ+b是从Rn到Rm上的仿射变换。

由于φ：A→B为(λ，μ]——直觉模糊线性变换,故有：

μB（aφ（x）+(1-a)φ(y))∨λ

=μB（φ（ax）+φ(1-a)y))∨λ

≥μA（ax)∧μA（（1-a)y)∧μA（x)∧μA（y)∧μ；

νB（aφ（x）+(1-a)φ(y))∨(1-λ)

=νB（φ（ax）+φ(1-a)y))∧(1-λ)

≤μA（ax)∨μA（（1-a)y)∨(1-μ)

≤μA（x)∨μA（y)∨(1-μ)；

所以

μB+b(a(φ+b)(x)+(1-a)(φ+b)(y))∨λ

=μB+b(aφ(x)+(1-a)φ(y)+ab+(1-a)b)∨λ

=μB+b(aφ(x)+(1-a)φ(y)+b)∨λ

=μB(aφ(x)+(1-a)φ(y))∨λ

≥μA(x)∧μA(y)∧μ；

νB+b(a(φ+b)(x)+(1-a)(φ+b)(y))∧(1-λ)

=νB+b(aφ(x)+(1-a)φ(y)+ab+(1-a)b)∧(1-λ)

=νB+b(aφ(x)+(1-a)φ(y)+b)∧(1-λ)

=νB(aφ(x)+(1-a)φ(y))∧(1-λ)

≤νA(x)∧νA(y)∨(1-μ)。

所以φ+b：A→B+b为(λ，μ]直觉模糊仿射变换。

定理2.2：

设A是Rn上的直觉模糊向量子空间,B是Rm上的直觉模糊仿射空间,φA→B为(λ，μ]——直觉模糊仿射变换,且μB(φ(0))≥μB(x),νB(φ(0))≤νB(x),b∈Rm则φ-b：A→B-b，(b=φ(0))为（λ，μ]——直觉模糊线性变换。

证明:首先证明φ-b是从Rn到Rm的线性变换，因为φ：Rn→Rm为仿射变换,所以对任意的x，y∈Rn，a∈R有：

(φ-b)(ax+(1-a)y)

=φ(ax+(1-a)y)-b

=aφ(x)+(1-a)φy-ab-(1-a)b

=a(φ-b)(x)+(1-a)(φ-b)(y)；

从而φ-b是从Rn到Rm的仿射变换。

又由于(φ-b(0)=φ(0)-b=0,故：

(φ-b)(ax)=(φ-b)(ax+(1-a)0)

=(1-a)(φ-b)(0)+a(φ-b)(x)

=a(φ-b)(x),

(φ-b)(x+y)

=(φ-b)(2·(x+y))

=2(φ-b)(x+y)

=2[(φ-b)(x)+（φ-b)(y)]

=(φ-b)(x)+(φ-b)(y)；

所以φ-b是从Rn到Rm的线性变换。

其次,由于Rn为Rm上的直觉模糊仿射空间,且μB-b(0)=μB-b(φ(0)-b)=μB(φ(0))≥μB(x)=μB-b(x+b)，νB-b(0)=νB-b(φ(0)-b)=νB(φ(0))≤νB(x)≤νB-b(x+b)。

所以B-b为Rm上的直觉模糊向量子空间。

由于φA→B为(λ，μ]——直觉模糊仿射变换,故有μB（aφ（x）+(1-a)φ(y))∨λ≥μA（x)∧μA（y)∧μ；νB（aφ（x）+(1-a)φ(y))∨(1-λ)≤μA（x)∨μA（y)∨(1-μ)。

所以：

μB-b(a(φ-b)(x)+(1-a)(φ-b)(y))∨λ

=μB-b(aφ(x)+(1-a)φ(y)-b)∨λ

=μB(aφ(x)+(1-a)φ(y))∨λ

≥μA(x)∧μA(y)∧μ，

νB-b(a(φ+b)(x)+(1-a)(φ-b)(y))∧(1-λ)

=νB-b(aφ(x)+(1-a)φ(y)-b)∧(1-λ)

=νB(aφ(x)+(1-a)φ(y))∧(1-λ)

≤νA(x)∧νA(y)∨(1-μ)。

令a=得,

μB-b((φ-b)(x)+(φ-b)(y))∨λ≥μA(x)∧μA(y)∧μ，

νB-b((φ-b)(x)+(φ-b)(y))∧(1-λ)≤νA(x)∧νA(y)∨(1-μ)，

因x,y∈Rn，b∈Rm，故（φ-b)(x),（φ-b)(y)∈Rm，从而∈Rm。

所以：

μB-b((φ-b)(x)+(φ-b)(y))∨λ

=μB-b[2((φ-b)(x)+(φ-b)(y))]∨λ

≥μB-b[2((φ-b)(x)+(φ-b)(y))]∨λ

≥μA（x)∧μA（y)∧μ，

νB-b((φ-b)(x)+(φ-b)(y))∧(1-λ)

=νB-b[2((φ-b)(x)+(φ-b)(y))]∧(1-λ)

≥νB-b((φ-b)(x)+(φ-b)(y))]∧(1-λ)

≥νA（x)∨νA（y)∨μ。

下面证明:

μB-b(a(φ-b)(x))∨λ≥μA(x)∧μ；

νB-b(a(φ-b)(x))∧(1-λ)≤νA(x)∨(1-μ)。

由于φ：A→B为(λ，μ]——直觉模糊仿射变换,故有

μB(aφ(x)+(1-a)φ(y))∨λ≥μA（x)∧μA（y)∧μ；

νB(aφ(x)+(1-a)φ(y))∧(1-λ)≤νA（x)∨νA（y)∨(1-μ)；

又μA（0)≥μA（x),νA（0)≥νA（x),令y=0得:

μB(aφ(x)+(1-a)b)∨λ≥μA（x)∧μA（y)∧μ；

νB(aφ(x)+(1-a)b)∧(1-λ)≤νA（x)∨νA（y)∨(1-μ)。

所以：

μB-b(a(φ-b)(x))∨λ

=μB-b(aφ(x)-ab)∨λ

=μB(aφ(x)+(1-a)b)∨λ

≥μA(x)∧μ；

νB-b(a(φ-b)(x))∧(1-λ)

=νB-b(aφ(x)-ab)∧(1-λ)

=νB(aφ(x)+(1-a)b)∧(1-λ)

≤νA(x)∨(1-μ)。

所以φ-b：A→B-b为（λ，μ]直觉模糊线性变换。

结论:本文在(α，β)直觉模糊线性变换及仿射变换的基础上,将三种有意义的(α，β)直觉模糊线性变换及仿射变换推广,得到了（λ，μ]——直觉模糊线性变换和（λ，μ]——直觉模糊仿射变换；通过模糊集的平移给出了（λ，μ]——直觉模糊线性变换和（λ，μ]——直觉模糊仿射变换之间的关系。

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[8]（这次刚写的论文1）。

[9]（这次刚写的论文2）。

[10]袁学海李洪兴孙凯彪直觉模糊集和区间值模糊集的截集、分解定理和表现定理[J].中国科学F辑：信息科学，2009,39(9):933-945。

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