例说化归与转化思想在解决不等式问题中的应用

例说化归与转化思想在解决不等式问题中的应用

方爱珍

金华市第六中学浙江金华321000

解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，往往需要变换，将原问题转化为一个对自己较熟悉的新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.本文就不等式问题谈谈这种思想方法的应用，以供参考.

一、利用“等价变换”思想，解不等式解不等式实际上是等价变换,也就是说，要求每一次变形所得到的不等式与变形前的不等式是等价的,因此，解不等式通常运用这种化归与转化思想。比如：解分式不等式等价转化为整式不等式、解含绝对值不等式转化为不含绝对值不等式、解高次不等式向低次不等式转化，等等.

例1.解不等式|x-1|-|x-2|＜0.

本题也可以利用不等式的乘方性质可直接转化为不含绝对值的不等式，原不等式即|x-1|＜|x-2|,两边平方等价于(x-1)2＜(x-2)2，整理即得当然，利用绝对值的几何意义，即|x-1|表示在数轴上到表示实数1的点的距离小于到表示实数2的点的距离，这样的实数在数轴上表示的点在实数对应的点的左侧，可直接得

二、利用“函数方程”思想，变换不等式问题为函数方程问题不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、相互制约.在解决不等式问题时，函数与方程思想是一种重要方法，同时利用数形结合，以达到“以数辅形，以形助数”目的，从而使问题迎刃而解.

例2设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，且，求实数a的取值范围[1]。

三、利用“反客为主”思想，解决含参不等式问题例3.若不等式2x-1＞m(x2-1)对|m|≤2的所有m都成立，求实数x的取值范围.

解析形式上看这个问题是含参数m的x的不等式问题，直接令（fx）=mx2-2x+(1-m)难以解决.若将其化为含参数x的m的一次不等式（x2-1）m（-2x-1）＜0，再令（fm）=（x2-1）m（-2x-1），这是因为（fm）是关于m的一次函数或常数函数，（fm）在[-2，2]上的最大值必在端点位置取得，所以（f-2），（f2）必有一个是最大值，因此只要f（-2）＜0，且f（2）＜0，解得

可见，在解决此不等式问题时，有时将条件等价转化，利用“反客为主”思想，将含参数m的问题转化为含参数x的问题，变换主元与参数地位，从而使问题迎刃而解.

四、利用“导数”思想，证明不等式不等式问题中，经常遇到不等式的证明。有些不等式证明似乎很难下手，但通过构造函数，利用“导数”工具将所求问题转化为求函数最值来解决显得思路简洁.

则-1＜x＜0时，,h'(x)在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，h'(x)在(0,+∞)上为减函数。所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0，所以，函数g'(x)在（-1，+∞）上为减函数。于是当-1＜x＜0时，g(x)＞g(0)=0,当x＞0时，g(x)＜g(0)=0,因此f(x)在x=0处取得最大值，而f(0)=0,所以，即原不等式得证。

诚然，在解决不等式问题时运用转换的思想并不仅限于此，限于篇幅，这里不再赘述.总之，在平时不等式教学过程中，教师注重这些思想方法的渗透，有利于提高学生的解题能力，从而培养了学生良好的思维品质。

参考文献：

[1]学海导航·新课标高考一轮复习·理科数学.2016年2月第1版学生用书.[2]www.cbe21.com/subject/maths/.