《正弦函数图像》教学设计

《正弦函数图像》教学设计

陈文

陕西省三原县北城中学 713800

一、教材分析：

1、教材的地位与作用

《正弦函数图像与性质》是高中数学必修四第一章第五节的内容.

本节课是在学习了三角函数的定义之后进行的，由正弦函数的定义可知，由于角的变化，而引起正弦函数值的变化，如何直观的反映角的变化所引起的函数值的变化，自然考虑到函数的图像，这也是研究函数的一般规律. 一般函数图像的研究都是通过“列表、描点、连线”三步完成的，当然，正弦函数也是采用一般方法，但是由于如何计算正弦函数的值，我们只知道几个特殊锐角的正弦值，对于推广后的角的正弦值还不清楚，因此，这种常规思路难以进行，但是，我们已经知道了正弦函数的定义以及正弦线，那么，利用正弦线来刻画正弦函数值的变化，及准确又直观，这便是本节课借助于正弦线来描述正弦函数图像的依据. 同时，有了正弦函数图像之后，就可以借助于图像来直观的反映正弦函数的性质. 也是为后继的学习做好铺垫. 因此，本节的学习有着承上启下的作用.

2、教学重点和难点

教学重点：用“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图像.

教学难点：利用单位圆画正弦函数图像

二、目标分析

根据《普通高中数学课程标准》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心里规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目的如下：

知识目标：能够借助于正弦线说出正弦函数值的变化特点，画出正弦函数的图像，并初步掌握“五点作图法”的基本要领.

能力目标：培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等；培养数形结合和化归转化的数学思想方法.

德育目标：渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点；培养学生勇于探索，勤于思考的精神；培养学生合作学习和数学交流的能力；、

三、教法分析

根据上述教材分析和目标分析，贯彻启发性教学原则，特显以教师为主导，以学生为主体的教学思想，神话教学改革，确定本节课的教法为：

1、计算机辅助教学、借助多媒体教学手段引导学生利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优美的函数图像，给人以美得享受.

2、讨论式教学、通过观察课件的演示，让学生交流，总结，说出正弦函数的主要特征和函数 的图像中起着关键作用的点.

3. 讲义结合教学、教师耐心引导，分析，讲解和提问，并及时对学生的意见进行肯定与评议.

四、 学法分析

引导学生认真观察教学课件的演示，指导学生进行讨论交流，促进学生知识体系的 建构和数学思想方法的形成，注意面向全体学生，培养勇于探索，勤于思考的精神，提高合作学习和数学交流的能力.

五、教学过程的设计

（一）情景设置、提出问题

我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，前面我们已经探讨了各三角函数的定义以及相关的诱导公式，那么它们的图像是怎样的呢？

这节课让我们来共同探讨这一问题（板书课题）

（二）问题探索、统一认识

问题1、对于以前所学的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，其作函数图像的方法是什么？对于正弦函数的图像呢？

思路：对于前面所学的函数，其作图像的方法步骤都是列表，描点，连线.

如果我们仍用描点法来画正弦函数的图像，我们只知道几个特殊的锐角的正弦函数值，对于其它角的正弦值需要利用计算器才能得到，而且大多数是一些近似值，因此不容易描出对应点的准确位置，因而画出的图像不够准确. 为此，我们考虑用一种新的方法来作出正弦函数的图像.

【设计意图】一方面是复习函数图像的作图方法，另一方面，对于正弦函数又提出新的挑战，利用“列表、描点、连线”很难完成.

问题2、一般情况下，我们在遇到困难时，总是“返璞归真”，寻找相应的定义来找到突破口，那么，借助于正弦函数的定义或者正弦线，能否描出正弦函数图像上的点呢？

思路：用几何画板演示单位圆上的正弦线随着角的变化而变化的规律，如图所示. 以单位圆与x轴的交点A为起点，以点A为起点，若按照逆时针方向旋转，对于函数 ，对于x的任意一个值，例如：当 时，其正弦线为MP，即 ，把角 的正弦线平移到直角坐标系中的x轴上表示 的点的位置，就可以描出点 ，同样地，利用几何画板把描出 内的每一个值的正弦线对应到图像中的点，这些点便形成了函数 在区间 上的图像.

【设计意图】：通过正弦函数定义和正弦线的概念，借助于几何画板，让学生直观的认识正弦线对应到正弦函数图像上的相应点，得到正弦函数的图像并领会转化意图.

y

问题3、如何作出函数 ， 的图像？

x

结合前面的描点方法，学生小组合作完成，教师巡视学生完成情况，出现问题教师及时纠正. 其步骤为：

（1）建立直角坐标系，并在 轴左侧画单位圆

（2）以单位圆与x轴的交点为一个分点，将单位圆12等份，过单位圆上的各点作 轴的垂线，可以得到对应于 ，···角的正弦线

（3）把 轴上从0到 这一段分成12 等份，分别得到x轴的数 ，……对应的点.

（4）将角 ……的正弦线向右平移到所对应的相应数的位置，即得到函数 图像上相应的点.

（5）用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即可得 的图像

【设计意图】在几何画板演示的基础上，通过动手实践，一方面对正弦线及其变化规律进一步熟悉，另一方面掌握画正弦曲线的方法步骤.

问题4、我们通过正弦线描点法画出了正弦函数 的图像，如何作 在 上的图像？

【设计意图】因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数 的图像与 的图像形状完全相同，只是位置不同. 只需要将上述函数向左或向右平移（每次平移 个单位长度），就可以得到正弦函数 的图像. 再用几何画板予以演示.

问题5、我们已经画出了正弦函数 的图像，但是在实际操作的过程中，虽然函数 的图像可以通过函数 的图像平移得到，但是，要画出 的图像还是比较繁琐的，能否寻找出图像中的几个具有典型意义的点，通过这几个典型的点就可以轻松的画出正弦函数的图像呢？这些点又是什么呢？

【设计意图】虽然学生可能会找出 、 、……等这些特殊角对应的点，但是要引导学生发现 、 、 、 、 这5个点更具有典型意义，因为它们分别是图像与 x 轴的交点和最值点. 这样的作图称之为“五点作图法”.

问题6、有了“五点作图法”，就可以列表得到相应点的函数值，按照作函数图像的“列表、描点、连线”，用五点法作正弦函数 的图像.

步骤：列表：

	0	1	0		0

描点、连线

【设计意图】通过“五点作图法”与利用正弦线作图法的比较，让学生认识到“五点作图法”在作正弦函数图像时的快捷、直观.

（三）及时巩固、不断强化

问题7、利用“五点作图法”分别作出函数 、 在区间 上的图像.

【设计意图】进一步熟悉五点作图法的方法步骤.

步骤：列表

	0	1	0		0
	0		0	1	0
	1	2	1	0	1

描点、连线

x

x

y=sinx

-1

追问、由图像看出，函数 的图像与函数 、 图像之间有何关系？

【设计意图】既然在同一坐标系中作出了函数 与 、 的图像，很有必要让学生认识它们之间的关系，为研究三角函数图像变换做好相应的铺垫.

（四）小结归纳、理顺思路

问题8、通过本节课的学习，我们都可以用哪些方法可以画出正弦函数的图像？具体的操作步骤是什么？在实际操作时，你会选择用什么方法画正弦函数的图像？

【设计意图】 对正弦函数图像画法中的正弦线法、五点作图法的画法步骤进一步复习巩固. 特别是对五点作图法是今后画正弦函数图像最快捷、最简便的方法.

（五）作业布置

用“五点法”画出下列函数在区间 上的简图

（1） （2） (3)

【设计意图】 进一步熟悉五点作图的方法，并认识它们图形之间的关系，为下节课学习正弦函数的性质打好基础.

6. 反思与体会

在利用单位圆来画正弦函数图像的过程中教材是对单位圆12等分，并且等分的份数越多画出的图像就越精确，但传统教法无法把这个过程动态的展示出来，我用几何画板课件把这个过程演示出来，克服了传统教法的不足，极大地调动了学生的学习热情.

借助于几何画板，通过单位圆上的点的运动，得到正弦函数图像重复出现这一过程，直观的把终边相同的角有相同的三角函数值动态显示，使得在由 的图像得出 的图像这一环节的教学水到渠成，同时也渗透了正弦曲线的周期性等性质，为下一节学习正弦函数的性质做了铺垫.

画正弦函数的图像确实也是学生的难点，通过课堂巡视也可以看出，虽然学生的描点都比较正确，但是在连线后，画出的图像有些“生硬”，因此，不断地让学生参与到知识的形成过程中，在小组合作练习与独立训练的过程中，不断强化图像的画法，使学生听有所思，思有所获，增强学生学习数学的信心和兴趣.