生产与计划多目标问题的解决---运用lingo实现求解

生产与计划多目标问题的解决 ---运用 lingo实现求解

李佳瑜 张钰涵 刘晓莹

华北理工大学 管理学院

华北理工大学 管理学院

北京交通大学海滨学院 经济管理学院063210

摘要：多目标规划问题是最优化问题的一种，它的解题难点在于由于多个目标的存在，我们能够达到各个目标同时取得最优值的结果难以直接实现，因此多目标问题的求解多采用“化多为少”的方法，然而繁琐的计算过程以及结果的不理想化时常成为我们正确求解的阻碍。本文根据案例信息，运用多目标线性规划，通过建立目标函数以及对应约束条件，借助lingo软件求解运筹学中的多目标生产与计划问题，从而找到采购与加工的最优方案寻求利润的最大化。

关键字：多目标问题；运筹学；lingo；生产与计划

1. 前言

伴随着科学技术的不断进步与发展，大量工业化企业面临着前所未有的机遇，但同时各种挑战也接踵而来，同行之间的竞争，客户资源的流失，还有各种不可抗力的作用尤其是在此次新冠肺炎的影响下，不少企业更是面临着濒临倒闭的灭顶之灾，也因此生产与计划多目标问题的解决，利润最大化的追求越来越成为大型工业企业所关注的问题。

生产与计划多目标问题是通过研究多个目标函数，在给定区域内实现最优化目标，其研究在现今也受到广泛关注，它的求解思路通常为化多为少，即将多目标问题转化为相对容易求解的单目标或者双目标问题。本文是通过lingo软件来求解多目标转化为单目标的生产与计划问题。

现以某公司原油采购与加工问题为例介绍如何通过建模以及运用lingo解决多目标问题，具体步骤如下：

二、案例展示

春诚建材制造有限责任公司通过购买原材料铁矿砂经过一系列冶炼压扎复杂工艺制造钢材，现有A、B两类不同来源铁矿砂用以制造出甲、乙两种不同品质的钢材。冶炼甲钢材的最终成品需要A类铁矿砂作为原材料的最低占比为50%，乙则需要A类铁矿砂最低占比达到60%才能达到合格标准。甲乙两种钢材的市场售价分别为4800元/吨，5600元/吨。现在该建材公司库房剩余A、B两类铁矿砂库存量分别为500吨和1000吨，且按照行业规定春诚公司在市场上最多还可购买A类铁矿砂1500吨。A类铁矿砂市场价如下：采购量少于500吨时单价为10000元/吨，采购量超过500吨但少于1000吨时，超出的部分是售价为8000元/吨，超过1000吨的部分，售价为6000元/吨。信息如上，春诚建材制造有限责任公司如何安排铁矿砂的采购量以及规划甲乙钢材的加工来实现利润的最大化。

1. 问题分析：

首先我们要对这个问题进行分析，我们最终追求的结果是通过对公司铁矿砂采购量以及冶炼加工的规划安排来实现公司的利润最大化。通过提炼信息，我们得出本案例中所给到的信息包括：甲乙两种钢材的售价以及其原料中应含A类铁矿砂的最低比例，此外还分级的给出了A类铁矿砂的采购单价。我们需要得出的利润实质上就是销售钢材的总收入与购买A类铁矿砂的支出差，但是本案例的复杂之处在于A类铁矿砂的采购单价是分级的，它与采购量之间存在分段函数的关系，因此如何处理这部分成为本案例得以解决的关键所在。

2. 建立模型：

假设采购A类铁矿砂x(单位：吨)，根据案例信息，采购总支出c(x)可表示为下面的分段函数(单位：千元/吨):

10x(0≤x<500)

c(x)= 31000+8x(500≤x<1000) (1)

3000+6x(1000≤x≤1500)

我们假设生产甲、乙钢材分别使用A类铁矿砂有x11和x12(单位：吨)，B类分别有x21和x22(单位：吨）用于产甲、乙钢材，我们得到总收入表达式为：5.6(x12+x22)+4.8(x11+x21)(千元)

到此我们得出目标函数为：
Max z=4.8(x11+x21)+5.6(x12+x22)-c(x) (2)

本案例中的约束条件包括：加工甲乙两种钢材所使用的铁矿砂A、B受到库存量的限制以及A类铁矿砂采购量的限制、甲乙中含A类铁矿砂的比例限制，具体表示为：

X11+X12≤500+x (3)
X21+Xx22≤1000 (4)
x≤1500 (5)

X11/(X11+X21)>=0.5(6)
X12/(X12+X22)≥0.6(7)

X11,X12,X21,X22,X>=0(8)

由于式(1)中的c(x)是分段函数而非线性函数，因此(1)~(8)我们得出的是一个非线性规划，而非线性规划在现实中相对来说求解复杂。所以我们考虑将将A类铁矿砂的采购量x根据所给信息分为三个量，即将以价格10、8、6千元/吨采购的A类铁矿砂量表示为x1,x2,x3，则总支出c(x)变为：10x1+8x2+6x3,并且满足;

x=x1+x2+x3  (9)

此时我们的目标函数(2)变成了线性函数，即:
Max z=4.8(x11+x21)+5.6(x12+x22)-(10x1+8x2+6x3) (10)

由于A类铁矿砂以这3种价格购入的情况是否都存在是一个不确定问题，因此我们引入0-1变量，令y1=1,y2=1,y3=1分别表示以10千元/吨、8千元/吨、6千元/吨来购买A类铁矿砂，可得到：
500y2<=x1<=500y1 (11)
500y3<=x2<=500y2 (12)

X3<=500y3 (13)
y1,y2,y3=0或1 (14)

（3）使用lingo求最优解：

将(3)~(17)构成混合整数线性规划模型，我们将它输入LING0软件:

代码如下：

model:

title:Lingo生产与计划多目标问题的求解

Max 4.8x11+4.8x21+5.6x12+5.6x22-10x1-8x2-6x3

st

x-x1-x2-x3=0

x11+x12-x<500

x21+x22<1000

0.5x11-0.5x21>0

0.4x12-0.6x22>0

x1-500y1<0

x2-500y2<0

x3-500y3<0

x1-500y2>0

x2-500y3>0

end

inty1

int y2

int y3

Lingo运行结果：

由此我们得出了本案例的最优解，即采购计划：应该采购1000吨的A类铁矿砂；加工计划：应当与库存中500吨的A类铁矿砂以及1000吨的B类铁矿砂一起加工，最后总共可以生产钢材乙：2500吨，最终的利润为：5000000元。

三、总结

本文我们通过春诚建材制造有限责任公司的采购加工案例，实际建模同时运用lingo软件进行求解，采用将多个目标函数化解为单个目标函数的方法，得到了最终最优结果。这样不仅极大地简化了原本繁琐的求解过程，同时也大大提高了结果的准确性，因此对其他的类似多目标规划问题的求解具有一定的参考价值，对在我们企业的日常实际工作中也具有一定的现实意义。

参考文献

[1]吴有平，刘杰，何杰，多目标问题的LINGO求解法.湖南工业大学学报，2012.05，第26卷第3期，P9-P12；

[2]姜启源，数学建模（第3版），高等教育出版社；

[3]胡运权，运筹学教程（第3版），清华大学出版社；

[4]刘淋，多目标问题规划的若干解法及Lingo实现.福建船政交通职业学院，2011.11，第10卷第6期，P20-P22