高考数学结构不良型试题的探索与研究

高考数学结构不良 型试题 的探索与研究

杨长智

德州市教育科学研究院，山东 德州 253000

摘要：结构不良试题在2020年全国新课程I、Ⅱ（即山东卷、海南卷）首次出现，结构不良试题是在结构良好试题的基础上，将部分已知条件弱化，学生需先进行选择，然后解答，这对学生思维能力培养有着良好的导向作用。

关键词：结构不良；素养导向；高考题

1 结构不良高考试题出现的背景

“中国高考评价体系”，为高考内容改革指明了方向，为各学科制定命题标准提供了重要依据。高考评价体系总体框架是“一核四层四翼”，其中“一核”为考查目的，即立德树人、服务选才、引导教学；“四层”为考查内容，即核心价值、学科素养、关键能力、必备知识；“四翼”为考查要求，即基础性、综合性、应用性、创新性。

结构不良试题是针对结构良好试题而言的，结构良好问题有明确的已和条件和要达到的目标，有确定的计算方法。结构不良问题一般有三类：①已知条件明确，目标要求不明确；②已知条件不明确，目标要求明确；③已知条件与目标要求均不明确。2020新高考数学结构不良试题的引入，增强了试题条件的开放性，引导学生更加注重思维的灵活性及策略选择。结构不良试题具有很好的开放性，对数学理解能力、数学探究能力的考查能够起到积极的作用。

2 结构不良试题分析

例1：（2020新高考ⅠⅡ）在① ,② ,③ 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题:是否存在 ,它的内角 的对边分别为 且 ,______？

【分析】本题从试题的情境设置来说为课程学习情境，基础知识为三角函数与解三角形内容，所考查的必备知识为正弦定理，余弦定理；在基础性的层次方面考查了学生理性思维能力。学生要对条件进行选择，然后进行解答，无论选择哪一个条件，题目最终有自己的答案，要么存在符合条件的三角形，要么不存在，二者必居其一，故学生要相信自己，从自己所选条件出发，达到理想的彼岸。题目考查了逻辑推理，数学运算的学科素养。

解决路径：从已知条件出发，有两种方案，一是角化边利用余弦定理，得出三边的长度关系，然后再利用选择的条件进行分析判断和求解；二是利用诱导公式，两角和差公式，通过转化，得出角度之间的关系，然后进行分析判断和求解。通过解析，选择三者中任何一个，都能解决问题，选择①、②，最终的三角形是存在的，选择③，三角形不存在，而选择①、②，虽然三角形存在，但三角形边角关系不一样。

例2：（山东、海南新高考测试卷）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.

设等差数列 的前 项和 是等比数列，__________， ， ，是否存在k，使得 ？

【分析】本题的情境为课程学习情境，为等差数列与等比数列，所考查的必备知识为等差数列通项公式及前n项和公式，等比数列通项公式，考查了逻辑推理，数学运算等关键能力。

解决路径：方案一是从三个条件中任意选择一个，融入到已知条件，把此题变成结构良好试题解决；另一种方案是先从已知条件出发，得出结论，本题由 是等比数列，得出 ，因为 得 ，然后再对开放条件进行选择。通过解析，可以看出，选择三者中任何一个，都能解决问题，选择①③，k值均为4，选择②，k值不存在。

例3.在① ② ③ 成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面问题中，并求解。

已知数列 中 公差不等于０的等差数列 满足 ，求数列 的前 项和 。

【分析】本题的情境仍然为课程学习情境，内容为等差数列与等比数列，所考查的必备知识为等差、等比数列通项公式，错位相减法求和，考查了数学抽象、逻辑推理、数学运算等关键能力。

解决路径：此题需先从已和条件入手，得出数列 的通项公式，此时用到了等比数列通项公式；然后加以选择，若选择①②，在①中令 ，可得 的方程组，从而得出 的通项公式；若选择②③，可得出数列 的公差，进而得出通项公式；若选择①③，得出矛盾。

通过以上分析，可以得出结构不良试题要求考生能够根据条件，自主分析，得出命题，并解决问题，这种自主推断题甚至是开放题以后将成为新高考的热点。

3 结构不良问题的特点

3.1 高考数学试题呈现方式为文字符号结构或为文字符号图表（图形）结构，而具体情境分为三类，一是课程学习情境；二是探索创新情境；三是生活实践情境。从目前来看，结构不良试题和具体的情境相联系，一般是课程学习情境；

3.2 问题的开放条件类型比较多，三选一，三选二，四选三等等，涉及到的内容有三角，数列，立体几何、解析几何等等，这些类型在不同层次的试题中均有涉及；

3.3 存在多种评价标准，答案存在多样性，有的直接得出结论，有的得出结论但结论因选择条件不同而不同，有的是通过分析，模型不存在。

4 结构不良问题的解决思路

4.1 必备知识

解决结构不良问题首先要有知识储备，即必备知识，解决三角问题需要掌握三角函数的定义，诱导公式，和差公式，倍角公式，正余弦定理等；解决数列问题需掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式等；对立体几何需掌握线面、面面之间的平行垂直关系，定理的应用等，储备的知识越多，越有助于提高问题解决能力。

4.2 合理途径

选择一个合适的解决方案，对问题解决会起到事半功倍的效果，要制订好解题策略，哪一个开放条件对你来说，比较熟悉，与题目已知条件更有关联性。是从开放的条件出发，将题目变成结构良好试题，还是先将已知条件进行梳理，再根据自己的知识储备对开放条件进行选择。

4.3 良好品质

良好的心理品质是一个人取得成功的前提，爱迪生曾言：“伟大的人物最明显的标志，就是他的坚强意志。”对问题解决要持有必胜的信念，要保持积极的情绪状态，相信在自己的能力范围内一定能够解决此类问题。

5 结构不良问题对当今教学的启示

5.1 加强“四基”教学，注重对必备知识的积累。万丈高楼平地起，基础的重要性如何强调也不为过，在高考考查要求中，基础性是其中之一，只有基础扎实，在面对各种问题时才能得心应手。而必备知识是指面对问题时，有效的分析问题解决问题所必须具备的知识。“四基”与必备知识是紧密关联的，在考查过程中，“四基”是通过必备知识呈现的。

5.2 与结构良好试题相比，结构不良试题给了学生更多的思考空间，内容考查灵活性强，只依靠刷题，题海战术已经不能胜任新的高考形势，考生务必提升独立思考、独立分析和解决问题的能力。

5.3 结构不良试题大多是在考试试题中出现，而在课堂教学中真正得到落实的还不够，教师要重视开放题的功能，关注结果，重视过程，注重对数学理性思维的培养，充分培养学生的核心素养。

参考文献

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[2]教育部考试中心.中国高考评价体系说明[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]张侨平，唐彩斌.落实素养为本的数学开放题教学[J].数学教育学报，2019，28（6)：61-64

[4]任子朝、陈昴、黄熙彤，等.高考数学新题型试卷质量分析研究[J].数学教育学报，201９，２８（１）：１－７.

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