初中数学一次函数解题的几种常规思路

初中数学一次函数解题的几种常规思路

赖友辉

（广东省梅州市大埔县华侨第二中学 广东 梅州 514200 ）

摘要：初中数学一次函数的学习内容当中存在着大量的数学思想，是整个初中数学的核心知识点之一，数学教师应当将解答一次函数题目的多种方法进行分门别类地教给学生，并帮助他们学会根据题干特征去应对不同条件时的不同一次函数题目，学会活学活用。

关键词：一次函数；数学教学；解题思路

一、分类讨论的解题思路

在初中数学的教学过程当中，教师和学生会经常遇到需要进行分类讨论的问题，因为题目没有给出更为直白明确的条件，这就需要根据假设不同的条件，然后分别在某一个条件的前提下去探讨数学问题。一次函数的分类讨论运用，相比于其他知识点更为典型。

例如，给出一条直线的解析式为y=kx+b，如果它经过点A（c，0），并且与坐标系所围成的三角形面积是S，那么它的解析式具体是什么呢？教师在进行这样类型题目教学时必须进行分类讨论思路的讲解，然后再运用已知条件和一次函数的性质去列方程组，用已知数据解出未知数，便可以完成解题的全过程。

首先，由于一次项系数k有可能有三种情况，这三种情况所得到的结果是不尽相同的。当k=0时，直线的解析式为y=b，这是一条与x轴平行的直线，它不是一次函数，而且也无法与坐标轴围成三角形，所以这种情况可以排除；当k大于0且b大于0时，这条直线呈上升趋势，它会经过第一、二、三象限，并且与两个坐标轴围成的恰好是直角三角形，此时只需要假设x为0，则三角形的直角边长就可得到是等于b，设y为0，则可以得到三角形的另一条直角边长为-b/k，那么我们就可以列出一个方程，即为绝对值-b/k·b·1/2=S，而把题目中的（C，0）代入直线的解析式中，则可以得出另一个方程，解这个二元一次方程组，就可以解答出来。

当k大于0且b小于0时，这条直线还是呈上升趋势，它会经过一、三、四象限，此时的计算方法与第一种应该是一样的，唯一的区别是要给直线与y轴的交点纵坐标取绝对值后再用来作为直角边数据进行列方程运算。当k小于0且b大于0时，这条直线呈下降趋势，它会经过一、二、四象限，此时直线与两个坐标轴的交点坐标都是正的，因此直接用交点的非零横坐标乘以纵坐标除以2，令其等于S，就可以解开这个方程，得到一次项系数和常数项系数，也就求得了函数的具体解析式。

同理，当k和b都小于0时，则分别取直线与横纵坐标轴的交点坐标的相反数作为直角边长度去解，也能求得解析式。虽然结果有四种，但是教师在进行这类题型教学时，应当教会学生找到题干的标志性条件，则可以对答案进行筛选，最终得出正确的结论。在案例题型当中，直线与坐标轴的其中一个交点纵坐标是0，并且另一个坐标c也是具体的数字，因此，教师可以告知学生通过这两个具体的坐标排除掉另外两个不可能的答案。如此而来，分类讨论解题就达到了应有的效果。

二、数形结合的解题思路

函数的图像与解析式是一一对应的，得知了一次函数的解析式，我们就可以通过取点计算和描绘连接的方法绘出函数的图像；而反过来，得知了一次函数的图像以及其中某些点的坐标，我们也能够根据它来计算出函数的解析式。几何图像能够让解题者形象直观地熟悉函数的大体特征、变化情况和空间展现形式，对于更好地研究一次函数具有重要意义；而一次函数的代数解析式则能够让人准确把握住函数的具体数量关系，为精确还原和使用一次函数提供基础。因此，数形结合思想在一次函数的解题当中也是相当重要的，有了数量关系，我们能够知道图像的明细情况；有了图像，我们能够知道解析式当中的未知参数。

当遇到类似给出两个不同的一次函数图像在同一个坐标轴的情况，由此去进行选择的题型时，我们就可以就很适合使用数形结合思想。我们并不知道k和b的参数是什么，但是却已经知道了它们的图像，在同一个坐标轴上，如果两个一次函数的图像都呈现上升趋势，则证明它们k的正负情况是相同的，反之则是相反的；如果两个一次函数的图像与y轴的交点都是正的，那么则证明它们的b值正负情况是相同的。

以此类推，我们可以清楚地分辨两个一次函数的联系与区别。当一次函数存在未知系数但通过代入法无法完全解出参数数值时，我们就可以用图像先把函数的大致轮廓描绘出来，然后再进行综合判断。而当我们不知道图像只知道大概条件时，则应当利用解析式来判断图像的情况。遇到多条直线相交所形成的的三角形面积问题时，我们可以先找出不同直线两两相交的交点坐标，然后利用题目条件来分别算出它们与坐标轴围成图形的面积，然后连接边缘点，构成一个大长方形，算出其面积后，用大长方形的面积减去四个小三角形的面积，就可以求得三条直线两两相交所得到的三角形的面积。反之，运用已经给出的几何条件，我们也可以轻松地算出一次函数的各项参数和经过坐标情况。

三、转化与化归的解题思路

在一次函数的教学过程当中，由于学生是初步接触函数，之前尚没有相关概念在脑海中形成，也没有基础理论知识和印象，因此，教师在进行一次函数的重难点讲解时，可以借助其他单元和其他体系的知识点结合去讲解，将未知的问题逐渐转化为学生已知的问题去求解，将复杂的问题分步化归为相对简单的问题去各个击破，有助于学生对函数和方程、几何、不等式等知识点的融会贯通与熟练应用，也有利于让学生明白怎样通过已知知识和定理去推导出未知的推论和答案，有助于培养学生的逻辑思维，提升数学素养。

当出现一次函数图像某个点的上方有另一条直线这样的情况时，教师可以将不等式的知识结合到函数当中来，并根据实际图像，更好地进行教学讲解，方便学生理解。如果一次函数的上升性和下降性一致，那么在其中一条直线上方的一次函数在取同一个纵坐标的点时，其横坐标必然与整体趋势的方向一致，反之则相反。这用不等式表示就是ax+b大于0，a是正数时x大于-b/a；a是负数时，x小于-b/a。通过将已经学过的不等式知识点运用到一次函数解题当中来，教师能够帮助学生克服对新知识的学习障碍，从多个角度进行全面学习和复习，充分巩固已学知识，并加深对新知识的理解、记忆和灵活应用，有助于学生提高一次函数的学习成绩，并为今后学习其他函数打下坚实的基础。

在进行利用一次函数选择最佳消费方案的应用题讲解时，教师应当深刻阐述函数的实际意义，让学生明白利用函数解题的合理思路，并且把题目当中的实际问题转化为一次函数模型，通过建模、核算系数、代入检验、运算与比较大小等方法将问题一步步化简，最终解得合适的答案。在进行一次函数化归时，应当注意把握住一次项系数的正负变化情况这一关键因素，并将坐标轴交点和函数与函数之间的交点相区别开来，利用等式和不等式的性质，将式子转化为最简形式之后，再去与图像相对照，从而优化解答步骤，更加便捷地解决相关数学问题。

结语：总之，在初中数学一次函数的教学过程中，教师应当注重对学生解题思路和逻辑思维的培养，充分让他们明白空间形式与数量关系之间的关联性，明白具体与抽象在数学案例中的不同表现形式，清楚按照特点分门别类进行讨论研究，最后根据条件筛选后再进行汇总，不断地锻炼学生的数学思维。教师应当将常规的思路重复性讲解，直到他们能够融会贯通为止。通过不断地优化教学策略，使得学生的数学能力得到充分培养。

参考文献

[1]刘华为.一次函数[J].中学数学教学参考：中旬,2017(6):4-6.

[2]练亦韩,崔恒刘.一道一次函数题的解题思路（初二）[J].数理天地：初中版,2016(7):47-47.