一道过定点直线与坐标轴围成三角形面积问题的探究

一道过定点直线与坐标轴围成三角形面积问题的探究

郭庆杰

山西省长治市上党区第一中学校， 047100

笔者近日在教学人教A版高中数学必修二《第三章 直线方程》内容时，给学生列举了这样一道试题：

过点P(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，当∆AOB的面积最小时，求直线l的方程。

同学们主要有以下几种解法：

解法1：由题意知，直线l斜率存在。

设直线l的方程为：y-2=k(x-1)(k<0),则A(1- ,0),B(0,2-k)，

所以 = OA∙OB

= |1- |∙|2-k |

= |-k+ +4|

≥ |2 |=4，

当且仅当 = ，即k=-2时取等号。

∴∆AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为

y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0。

思路小结：本解法通过设出直线的点斜式方程，将面积表示为关于斜率k的函数，通过研究函数的最小值进而得到围成三角形面积的最小值。

解法2： 由题意，设直线l的方程为： + =1（a>1,b>2），

∵点P（1，2）在直线l上，∴ + =1。

由基本不等式，得1= + ≥2 ，即ab≥8,

于是 = ab≥4,当且仅当 = ，即a=2,b=4时取等号。

∴∆AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为 + =1，即2x+y-4=0。

思路小结：本解法通过设出直线的截距式方程，然后构建出基本不等式对围成三角形面积的最值进行求解。

解法3:同解法2，得 + =1。由于a>0,b>0，令 = ， = ，则a= ，b= ，于是

= ab= = 。

∵ ≤1，∴ ≥4，即 ≥4，

当且仅当 =±1,即α= + ，k∈Z时取等号，此时a=2,b=4。

∴∆AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为 + =1，即2x+y-4=0。

思路小结：本解法根据直线截距式方程的特点，类比三角函数的平方关系，通过三角代换，结合三角函数的有界性，对围成三角形面积的最小值进行了求解。

解法4：如图1所示，过点P分别作x轴、y轴的垂线，PM,PN,垂足分别为M,N。设

θ =∠PAM=∠BPN，0<θ< 。于是

= + + = ╳1╳tanθ+2+ ╳2╳

= tanθ+ +2

≥2 +2=4，

（图1）

当且仅当 tanθ= ，即tanθ=2时取等号。此时直线l的斜率为-2。

∴∆AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0。

思路小结：本解法通过观察图形的特点，进行了面积分割，以角度为自变量，进行了面积最小值的求解。

做完此题之后，我们不妨对此类问题的一般情形进一步探究如下：

问题 1 在一般情况下，过任意一点P(m,n)(其中m>0,n>0)的一条直线与x、y轴正半轴交于A,B两点时，所围成的∆OAB面积最小值怎么求解？此时，最小面积又是多少？

针对该问题，我们从以上解法2，可以找到其中的答案，求解过程如下：

解： 由题意，设直线l的方程为： + =1（a>m,b>n），

∵点P（m，n）在直线l上，∴ + =1。

由基本不等式，得1 = + ≥2 ，即ab≥4mn,

于是 = ab≥2mn,当且仅当 = ，即a=2m,b=2n时取等号。

∴∆AOB面积的最小值为2mn，此时直线l的方程为 + =1，即nx+my-2mn=0。

由以上解答，我们找出了此题的一般性结论，培养了学生从特殊到一般的数学思想方法。

利用坐标法解决解析几何问题，主要体现了数形结合思想。对于本题，我们可以思考以下问题。

问题 2 当所围成的三角形面积取得最小值时，此时相应的图形有何几何特征呢？

由 以上代数解法，我们发现∆AOB面积取得最小值时的条件，也就是基本不等式等号成立的条件： = ，我们可以将该等式等价变形如下： = 。那么变形以后的等式说明了什么问题呢？从右图2中，我们不难找到答案所在。

过P点分别作PD⊥x轴，PE⊥y轴,连接DE。 （图2）

由 = 可知： =

故从图2中，我们可以得到：Rt∆ODE∽Rt∆OAB，

即此时，DE//AB，

所以我们可以得到以下结论：

结论I：过任意一点P(m,n)(其中m>0,n>0)的一条直线与x、y轴正半轴交于A,B两点时，所围成的∆OAB面积最小值为2mn；

结论II：前提条件同上，当围成∆OAB面积最小时，DE//AB，此时我们可以很容易得到直线AB的斜率为 = ，进而由点斜式整理化简，我们可以得到直线AB的方程形式为：nx+my-2mn=0；

结 论III：前提条件同上，当围成∆OAB面积最小时，过点B作BC⊥y轴，延长DP与BC相交于点C。有以下结论成立：

①四边形BEPC为矩形，由结论II可知，四边形BEDP此时为平行四边形，所以，∆CBP、∆BEP、∆EPD面积相等，都等于 mn；

②此时矩形BODC的面积为2mn，和∆OAB的最小面积是相等的； （图3）

③此时DE为∆OAB的中位线，∆CBP、∆PDA面积相等，都等于 mn。

加强对数学问题的探究，有助于帮助学生在跳出题海的同时对所学的知识融会贯通，从而减轻学生的学习压力，在奇妙的探究过程中，让学生领略数学的魅力、体会学习数学的兴趣。

参考文献：

[1] 潘振嵘.摭谈对教材例、习题功能的深层挖掘 [J].数学通讯（下半月），2015（5）.

[2] 谢宗明. 解析直线与坐标轴围成的三角形面积问题[J]. 中学生数理化(教与学), 2010(11).

[3] 杨绍国, 董成勇. 过定点直线与坐标轴围成的三角形问题探究[J]. 数学通讯, 2015(Z4).