定积分微元法及其应用

定积分微元法及其应用

邢喜莲

广州工商学院基础教学部 广东 佛山 528138

摘要：积分学中的定积分在几何、物理、经济管理等方面有着极其广泛的应用。由于定积分的微元法通常往往能使一些实际问题简单化，因此，定积分的微元法在定积分的应用方面至关重要。本文首先简介定积分的微元法适用的所求量以及定积分微元法在应用中的步骤，重点介绍积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面的应用。

关键词：定积分：微元法：应用

一、定积分的微元法适用的所求量

定积分的微元法是将实际问题设法转化为定积分问题的一种方法，通常，如果所求量 满

足三条：1. 关于某一个区间 有关；2. 在区间 上具有可加性，即当把区间 分成任意n个小区间时，相应的所求量 也分成n个小部分 ，且所求量 等于n个小部分 之和，即 ；3.在 上任取一个小区间 ，所求量的部分量 能够近似表示成 （即所求量 的微分元素），那么所求量 就可以用定积分的微元法来求，即 。

二.定积分微元法在应用中的步骤

定积分微元法就是将所研究的所求量进行无限细分，从中抽取某一微小部分进行探探讨，通过分析，研究找出所求量的整体变化规律的方法。通常利用定积分微元法解决一些具体问题时，采用将所研究的所求量细分成很多微小的“元素”，而这些微小的“元素”具有相同的几何形态或物理规律，因此，我们仅需要分析和研究其中的一个微小部分，利用所学的数学或物理的理论知识进行处理，以期达到用一个定积分表达式来求所求量的效果。

用定积分微元法将实际问题中的所求量抽象为定积分的步骤也基本相同，分为3步 ，

1.根据题意，建立适当坐标系，画出草图（使得后面的选积分变量、确定积分区间、寻找所求量的微分元素比较直观）；由于函数关系的建立是由所建立的坐标系来决定的，坐标系的建立是否恰当，往往直接影响到寻找微分元素的难易以及定积分计算的繁简程度。因此，建立坐标系时，既要考虑到较易寻找所求量的微分元素，还要考虑到后面的定积分的计算要相对较简单。

2.选取积分变量，并确定其变化区间 。积分变量选择的是否恰当，往往直接决定着定积分的计算是简单还是繁琐。因此，积分变量的选择是十分重要的。在具体应用中，如果定积分的计算十分繁琐，甚至无法计算，这时，可以考虑更换一下积分变量来处理解决。

3.在区间 任取小区间 ，根据所学的数学或物理知识，求出所求量在 上的微分元素， ，这里选取所求量的微分元素 需要满足条件： 是比 高阶的无穷小。这是因为对于小区间 上所求量的部分量 ，如果能够找到与 成线性关系的表达式 ，使得 ，那么，就有 ，由于我们要求的是所求量 的精确值，而此式给出的是用 的近似值累加的近似值，这时误差也将累加，要想使积分和的极限为所求量的精确值，必须要求累加的误差的极限为零，这样就得到所求量的微分元素 需要满足条件： 。因此，第三步是定积分微元法步骤中最关键的一步，也是最困难的一步，要通过具体的实例去探讨来掌握。

4.求定积分 ，即得到所求量 。

三、 定积分微元法的应用

定积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面都有广泛应用，下面将利用实际问题来探讨微元法在这些方面的应用。

1. 在几何中的应用

1. 过原点作对数曲线 的切线,该切线与对数曲钱 及 轴围成的平面图形为

D。（1）.求平面图形D的面积；（2）.求平面图形D绕直线 旋转一周所形成旋转体的体积。

解：设所求面积为S，体积为V。又设过原点作对数曲线 的切线与曲线 的切

点为 ，则切线方程为 ，又曲线 得斜率为 ，在切点有 ，从而， ，代入 得 ，这样，就求得切点为 ，切线方程为 。

（1）.选 为积分变量，则它的变化区间为 ，在 内任取小区间 ，则有 ，因此， （这里选 为积分变量也可）。

（2）. 显然选 为积分变量，则它的变化区间为 ，在 内任取小区间 ，则有 ，因此 。

2.在物理中的应用

例2. 半径为 R 的球沉人水中 , 顶部与水面平 , 球的比重为 l。求将球从水中取出到刚离水面所做的功 。

解：分析: 由于在球从水中取出的过程中, 球的所有微小的部分上升的总行程都是 , 又由于球的所有微小的部分在水中行程不做功, 因此，将球水平分割成许多微小的薄片,考虑这些微小的薄片在水面上移动所做的功的和。建立直角坐标系如下：以 轴在水平面上, 轴垂直于水平面、正方向向下的坐标系,则球的的剖面方程为: 。选取积分变量为 , 则它的变化区间为 ，在 内任取小区间 ，则位于 处的薄片的体积的微分元素为 ，又因为薄片在水面上移动的路程为: ，所以，所做的功 的微分元素为： 。因此， 。

3.在经济管理中的应用

例3.设鱼塘中有 时，每千克鱼的捕捞成本为

元，已知鱼塘中现有鱼一万公斤，试求从鱼塘中捕捞5千公斤鱼需要多少成本？

解：选 为积分变量，则它的变化区间为 ,在 内任取小区间 ，由于已经捕捞了 鱼,此时,鱼塘现有鱼 ,再捕捞 鱼的成本为

因此，捕捞5千公斤鱼的成本为 （元）

4.在日常生活中的应用

例4.设某城市2020年的人口密度近似为 ，其中 表示距离市中心 公里区域内的人口数，单位为10万/ 。试求距离市中心 区域内的人口数。

分析：如果从市中心为起点引出一条极轴，在极轴上，从0到2之间任意分成n个小区间 ，则每个小区间就确定了一个以坐标原点为中心，分别以 和 为半径的圆环，我们估算一下在每个圆环中的人口数，然后，把他们相加就得到了人口总数。

由于对应于小区间 圆环的面积 为： ，又当n很大时， 很小，所以，人口密度可近似看作常数，这样，在此圆环内，人口数近似为： ，由于此近似式的第二项当 时，为 的高阶无穷小，因此， 即为小区间 上的微分元素。

解：以市中心为坐标原点建立直角坐标系，选 为积分变量，则它的变化区间为 ，在 内任取一个小区间 ，则 ，因此，距离市中心 区域内的人口数为 。

结语：本文主要阐述了定积分微元法在几何、物理、经济管理方面的应用，从中我们看到定积分的微元法通常往往能够将实际问题中的所求量简单化，随着对积分学深入的学习和研究，正确了解并掌握微元法这一思想方法，对数学学科的研究及其应用具有重要作用。

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