让数学思维在课堂的沃土中自然生长

让数学思维在课堂的沃土中自然生长

曹群

金陵中学溧水分校 211200

【摘 要】教师在课堂教学中，怎么教往往比教什么更重要，我们难以指望学生在记忆模仿和反复机械训练中知识得到理解和深化，大量的教学实践让我们体会到：教学的主阵地在于课堂，而一个成功的课堂离不开科学有效的问题设计。设计的问题直接决定了学生思维发展的方向和深度。教师通过设置恰当的问题找准思维生长的立足点、刺激点、发散点，预设合理的思维路径，让学生的数学思维自然生长。

【关键词】课堂 科学 有效 生长

如何设计一个有效的教学设计以培育学生的数学学科核心素养，是数学教师首先要关注的问题。在教学设计中建立系统观念，同时注重学习情境的创设与问题的设计。诺贝尔奖获得者德国物理学家劳厄曾说过：“重要的不是获得知识，而是发展思维能力。”教育就是要以具体知识为载体，发展人的思维能力和科学研究能力。学生思维的发散往往需要教师在教学过程中不断的引导，将学生已有的知识经验巩固、整合、发展，思维得到发散与延伸。“问题是数学的心脏”，学生的思维发展是从课堂上的问题开始的，所以在教学实践中设计科学有效的问题是一个值得深思的问题。

1. 设计科学有效问题的立足点

课堂教学设计及课堂问题的设计从何而来，到底什么才是科学有效问题？笔者认为是教学目标以及学生的实际认知基础。教学目标又从何而来？《义务教育数学课程标准2011 年版）》和教材是值得教师深入钻研的两本书，它们使教学目标有理、有据、合法。

设计科学有效的问题应基于学生的认知基础。基于认知基础就是要分析学生学习该主题内容已有的知识和准备、可能存在的困难和困惑，并在此基础上设计问题情境，引发认知冲突，激发学习欲望。字母表示数是代数领域的基础，方程、函数的学习中所遇的困难多可以追溯到字母表示数的意识和能力的缺失。因此，需要设计结构性问题以让学生经历完整的代数方法解决问题的过程。基于学生的认知基础同时也意味着设计的问题不能只面向少数人的高深艰难的问题，而是促进全体学生积极参与的探究性问题，它以开放性的情境引起学生深度思考并从中获益。

有了明确的教学目标，设计科学有效的课堂问题就有了稳固的基础。在苏教版八年级第11章第2课时《反比例函数的图像与性质（1）》的课堂教学中，笔者先认真研读了《义务教育数学课程标准2011 年版）》和教材，首先需要解决的教学目标是：通过类比一次函数图像的画法回顾，会通过列表、描点、连线画反比例函数的图像，初步感受反比例函数的性质。在学习反比例函数之前，学生已经具备了学习一次函数图像的经验，已经有了用列表、描点、连线的方法画一次函数的经验。

所以笔者采取了复习引入的方式，提出了这样一个问题：之前笔者们学过的一次函数的图像是怎么画出来的？请举例说明。之后追问：那么你们觉得反比例函数的图像应该怎么画？跟一次函数的画法一样吗？紧接着再问：要取几个点，取点的时候要注意什么？

在课堂引入部分连续三个问题，明确了整堂课的学习内容——用描点的方法画出反比例函数的图像，学生的思维就有了一个自然专注点。然后引导学生思考：画反比例函数的图像是不是就按照一次函数的方法来画，到底有什么联系和区别。

在没有画函数图像之前，为了使学生仅在观察函数表达式后就能对函数图像产生一些模糊的认识。在画反比例函数图像 之前，笔者设计了下面几个问题：

1. x、y所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？（2）x、y的值可以为0吗？这个函数的图像与x轴、y轴有交点吗？（3）当 ＞0时，随着x的增大，y怎样变化？当 ＜0时，随着x的增大，y怎样变化？（4）这个函数的图像与x轴、y轴的位置关系有什么特征？

之前学生已学过分式与平面直角坐标系，已经能够分析出x、y所取符号的关系，所以在哪些象限也能很快得出，由问题（2）（3）（4），让学生在不知道函数图像的前提下，先进行独立思考，这样有利于培养学生的空间想象能力和独立解决问题的能力。当其中有部分问题不能轻易解决时，易引导学生利用以前研究一次函数性质的方法即画函数图像来研究反比例函数。这样自然就过渡到了下部分教学内容，画反比例函数的图像。大致的图像其实已经在学生头脑中产生，事半功倍之后，就是学生自己实际操作画图了。

学生在教师设置的问题下，会产生好奇的想法，这是十分宝贵的，一是可以不断激发学生学习数学的兴趣，二是激发本节课学生探究的热情，三是对此问题的思考也是进一步深入思考的入口。所以，笔者们要认真研究《义务教育数学课程标准2011 年版）》和教材，分析学生认知基础，设立教学目标，提出科学有效的问题。

二、设计科学有效问题的刺激点

美国心理学家桑代克认为：“学习的是在刺激和反应之间形成结。”的确，学生的数学思维要想快速发展，就需要一些外来的刺激。而教师引导学生自主发现问题、解决问题，就是对学生数学思维的很好刺激，这样的刺激会慢慢拓展学生数学思维的“最近发展区”，从而使得学生的思维快速拓展。这就需要教师提出的问题必须要指向学生数学思维发展的节点，让学生通过思考自然地架出一座思维的桥。

比如笔者在此课的教学中，在“连线”这一环节，就提出了这样一个问题：是不是还像正比例函数图像那样，用线段连接这些点，把反比例函数画成一段折线？这个问题让学生的思维受到了一个刺激，新知与旧知产生了一个矛盾，到底反比例函数是不是一段折线，这也激发了学生探究的反比例函数图像的兴趣。紧接着笔者再追问：为什么反比例函数要画成平滑的曲线,它就不能是一段折线吗？借助这个问题，让学生理解函数图像的本质，函数图像上所有的点都满足于这个函数，换句话说，是在平面直角坐标系内，所有满足函数表达式的点组成了这个函数的图像。

2. 设计科学有效问题的发散点

哲学家黑格尔说过：“创造性思维需要有丰富的想象。”创新思维的技巧性方法中，有许多都是与发散思维有密切关系的。这就要求教学过程不仅要有旧知识向新知识的纵向探究，也要有新知识和所学知识变化结合的横向发展，学生的数学思维才足够有深度，对知识的理解也会更加深刻，对问题解决的方法也能更加多样。

例如，这个课例的另一个教学目标是：通过类比一次函数图像的画法回顾，会通过列表、描点、连线画反比例函数的图像，初步感受反比例函数的性质。所以在作完图像之后，笔者问道：你将从几个方面研究反比例函数图像的性质？引导学生从对称性、延伸性、自变量的范围、函数的范围、增减性这几个方面研究反比例函数的性质。让学生的思维不拘泥于反比例函数这一节，这更是研究所有函数的通法。

笔者在本堂课结束之前提了这样一个问题：你能画出 这个函数的图像吗？并简要分析这个函数的性质。由反比例函数拓展到二次函数这个范畴，更是将学生的思维拓展到了研究所有函数的层次。学生回答好了这个问题，这节课的重难点也得到了突破，也为后面学习二次函数做了铺垫，学生的思维得到了发展。

纵观整节课，以问题驱动方式开展教学，学生得到的不仅仅是一个结果，更重要的是在探究过程中思维不断生长，从简单到复杂、从

易到难、从封闭到开发，从课标要求到适度拓展，并且不同层次的学生都能得到发展。恩格斯说，“思维是地球上最美丽的花朵。”数学教学过程是学生数学核心素养不断提升的过程，这就需要教师在学生思维发展的过程中，设计具有挑战性、引导性、延伸性的问题，不断促进学生思维向更深更远的地方生长。这样的数学教学过程，才是学生数学思维不断生长的过程。

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