轻松解决概率统计应用题

轻松解决概率统计应用题

吴吉安

湖南省怀化市溆浦县第一中学，湖南省 怀化市 419300

摘要：普通高中新课程标准中指出数学建模是一种重要的数学核心素养。概率统计应用题在高考中一般会出一大题，是考查学生分析、解决数学应用题能力的重要题型。下面例举几题说明高考如何考查概率统计应用题，考查的难度有多大。便于同学们复习备考。

关键字：概率统计； 应用题；建模

1．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为 ．

（1）求 的分布列；（2）求1件产品的平均利润(即 的数学期望)；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

【分析】本题考查的是随机变量的分布列及期望的实际运用．对于（１）可先将 的各种可能值对应的概率求出，然后代入公式可得（２）的答案

【详解】（１） 的可能取值有 ;

故 的分布列为

（2）

（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时１件产品的平均利润

，

依题意 ，

所以三等品率最多是 .

2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．

（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ） 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求 的期望．

【详解】（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为 ，则 ，故 ，

该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 ，

由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率

（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，

所以

3．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率.

【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；

(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.

【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，故 ，从面 .

所以，随机变量 的分布列为：

随机变量 的数学期望 .

(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ，则 .

且 .

由题意知事件 与 互斥，

且事件 与 ，事件 与 均相互独立，

从而由(Ⅰ)知：

.

【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力。

4．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.

【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；

（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.

【详解】（1）记事件 甲连胜四场，则 ；

（2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，则四局内结束比赛的概率为

，

所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；

（3）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，记事件 甲赢，记事件 丙赢，

则甲赢的基本事件包括： 、 、 、

、 、 、 、 ，

所以，甲赢的概率为 .

由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为 .

【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力。

【参考文献】

1.简洪权．高中数学运算能力的组成及培养策略．《中学数学教学参考》

2．张卫国．例谈高考应用题对能力的考查．《中学数学研究》

3.黄立俊、方水清.增强应用意识，增强建模能力.《中学数学通讯》

4.薛治刚.《高中数学应用问题》吉林科学技术出版社

试卷第1页，总4页