初中数学常见杨辉三角规律（1）——利用横行规律解题

初中数学常见杨辉三角规律（ 1 ）——利用横行规律解题

贾风华

北大附中云南实验

杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形，它的排列形如三角形。因为首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名。在欧洲，因为法国数学家布莱兹‧帕斯卡在1653年的《论算术三角》中首次完整论述了这个三角形，故也被称作帕斯卡三角(Pascal's triangle)。人教版初中数学八年级下册第113页，阅读与思考中对杨辉三角进行了简单的介绍。

今天结合初中命题中会用到的情况进行分析，结合具体的题目利用杨辉三角的横行规律解题。

在初中数学上，杨辉三角的介绍和二项式展开式有关：

（a+b）⁰＝1

（a+b）¹＝a+b

（a+b）²＝a²+2ab+b²

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

……

二项式系数是二项式定理中各项的系数。而二项式系数可排列成杨辉三角，这样可以避免这样的麻烦，直接找到答案。

如何直接写出各项系数？

如图，在最上面一行的中央写下数字 1；第二行，写下两个 1，和上一行形成三角形；随后的每一行，开头和最后的数字都是 1，其他的每个数都是它左上方和右上方的数之和，就是说除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和。

一．利用杨辉三角的构建过程解题

例1．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：

（a+b）⁰＝1

（a+b）¹＝a+b

（a+b）²＝a²+2ab+b²

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³

这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）⁵＝__________，并说出第7排的第三个数是___．

【答案】a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；15.

【解析】根据杨辉三角的构建：把第6行写出来：

得到：（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

再借助规律写出第7行：1 5 15 20 15 6 1，故第三个数是

二、杨辉三角的横行个数及数字和规律

①横着每一行都有对应数字个数，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，……

②横着每一行数字相加得到：a₁=1=2⁰，a₂=2=2¹，a₃=4=2²，…，a_n=2^n-1.

例2．我们知道(a+b)ⁿ展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第 行中的每一项，如图给出了“杨辉三角”的前7行，请你按照这个规律，直接写出 展开式共有______项，展开式的系数和是_______．

【答案】2021；2²⁰²⁰.

【解析】由于第一行对应的是(a+b)⁰，所以(a+b)²⁰²⁰对应的第2021行，所以共有2021项；展开式系数和为2²⁰²⁰.

三、巧设未知数的值求展开式系数和

当二项式的a，b有了具体的式子时，系数和就不仅仅时杨辉三角横行之和，这时巧设未知数的值可解决问题。

例3．我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方 的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将 的展开式按x的升幂排列得： ．

依上述规律，若 ，则 __________．

【答案】3¹⁵．

【解析】（s+x）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₅x¹⁵．

当x=1，s=2时，a₀+a₁+a₂+…+a₁₅=（2+1）¹⁵=3¹⁵．

四、杨辉三角中隐含的11 的幂

杨 辉三角还揭示了 11 为底的幂的值。如图，将每一行的数字挤压到一起，前 5 行直接得到，第六行将十位数加到它左侧数字上， ，_，如果出现了三位数同样进位处理即可。

…

例4．杨辉三角是一个由数字排列成等腰三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示 （此处 ， ， ， ， ， ， ）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字 组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．

（1）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为 ）都是上一行的数与_____积．

（2）由此你可写出 =_________________．

【答案】11，161051．

【解析】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．

（1）11，121=11×11，1331=121×11，14641=1331×11，15101051=14641×11， 
（2）11 ⁵=（10+1） ⁵=10 ⁵+5×10 ⁴×1+10×10 ³×1 ²+10×10 ²×1 ³+5×10×1 ⁴+1 ⁵=161051， 
针对性训练：

1．如图，为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如 ( 为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题.

（1）填出 展开式中第二项是_________.

（2）求 的展开式；

（3）计算：_.

解：（1）由题意可得：（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；

（2） ；

（3）原式=

2．利用“杨辉三角”展开（1﹣3x）⁵＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵，那么a₁+a₂+a₃+a₄+a₅＝（　　）

A．0 B．1 C．-32 D．﹣33

【答案】D．

【解析】（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

因为有具体的a,b数值，故当x=1时(1-3)⁵＝a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，故a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅＝(-2)⁵=-32.

因为a₀＝1⁵＝1，所以：a₁+a₂+a₃+a₄+a₅＝-32-1=-33.