从人口模型的研究例说数学建模的基本假设与模型建立

从人口模型的研究例说数学建模的基本假设与模型建立

曾翰举 1 许秀亮 2

1. 福建省三明第一中学 福建三明 365000 2. 福州第二中学 福建福州 350000

摘要：本文主要通过对人口模型的研究目标，人口模型的基本假设，考虑变化量和状态量之间的关系建立数学模型，建立模型需要考虑单位和量纲。研究人口模型的目的是为了通过人口模型来说明数学建模的必要步骤，还有这些步骤当中所需要注意的点，包括数学建模当中的基本方法，定量方法，定性方法。本文利用人口模型来给大家介绍数学建模的两个基本过程。

关键词：数学建模；基本假设；模型建立；人口模型

1.人口模型的研究目标

首先人口模型的研究目标是什么？

(1)人口数量的变化规律，到底是先快后慢的增长，还是先慢后快的增长，什么时候会减少等等。这样的规律就是我们要研究的。

(2)人口数的极限，以及到达这个极限后的行为，是会继续增长还是会这个回落下来？

(3)我们希望通过这个人口模型可以挖掘一些历史事件。历史往往是任人打扮的小姑娘，所以有很多历史事件可能没有记录，但是我们可以通过历史当中的一些数据，通过数据分析，做到窥视一些历史当中的隐藏事件。

2.建立模型

我们为了建立模型，首先要研究这个模型的基本假设，以及这个模型的符号约定。

首先我们假设人口数随时间的变化函数是一个连续函数，并且是可导函数。有人可能会有疑问，即人口数怎么可能是随时间连续变化的呢？其实这一点是合理的，因为我们研究人口数一般情况下不会研究一个家庭当中人口数，因为它相对于某家庭的人口总数变化的幅度太大了，有可能某家族只有10个人或者20个人，而增一个人或减一个人，对某家庭的变化率来说是特别大的。但是我们相对于一个地区或者一个国家或者一个大洲来说，它的人口数最至少是以万人为单位，所以单个人的增长或减少相对于万人的单位近视小数点后四位，我们研究的时候，精度不需要达到个人或达到百人或达到千人，实际上我们精度达到万人精度已经很高了，所以说我们认为单个人的离散变化相对于我们最后需要的精度来说，是可以忽略不计的，所以我们可以认为人口数，人口数损时间是连续变化的。

可能还有同学会认为，一个连续的函数，它也不一定可导。注意可导函数一定连续，连续函数未必可导是导数基本原理。那为什么我们假设模型时认为这个连续函数是可导的？因为我们假设某函数连续但不可导，比如说它是如下图4.1这样的一个连续函数，但是在 处有间断点，它不可导，怎么办呢？

其实我们在实际数据抽样中，若遇见连续不可导函数，我们可以用可导函数去修饰，去逼近它。如我们可以在图4.2的 处切一个小弧，这样就可以以任意精度去逼近这个连续函数，使它可以光滑的过渡过来，然后再过去光滑的过渡过去，所以我们完全可以去假设人口数随时间变化，不仅是连续函数，而且还是可导函数。

再我们假设人口增长仅和生育率还有死亡率相关。即人口现在的数量越多，人口数上升的速度就越快，同样死亡的速度越快，然后出生的人数减去减去死亡的人数，就是人口净增长人数。

有了基本假设我们就要做相应的符号约定。

我们将人口数随时间变化的函数设为 ， 是population这个英文单词的首字母，它的单位设为万人，将时间 的单位我们设为年。我们还需要假设 是可以连续变化的，即 是有意义的，方便我们可以换算成相应的时间。我们还要假设出单位时间出生率 与单位时间死亡率 ，这里 和 的单位是100% 年。

有了这样的基本假设和符号约定，我们就可以来建立我们的模型。因为人口数 它是可导的，所以我们可以用 去承载第二个基本假设，即人口增长仅与生育率和死亡率相关。那么我们的增长速度 和哪些数据有关呢？它和生育率和死亡率有关，我们将出生率减去死亡率就是净增长率，净增长率乘上当前的人口基数，就是它的单位时间内人口增加的数量，即人口增加的速度 。

我们分析一下这个式子左边，是万人 年这样的单位，右边式子中的 是100% 年， 单位为万人，所以左右单位都是万人/年，说明这个量纲上是合理的，单位上也是合理的。再由同学们观察一下，就是 在这个模型当中它们始终是绑定在一起的，没有什么理由可以被拆开，所以我完全没有必要把 单独设成两个参数。我们记 ， 也就是单位时间内的净增长率。此时这个模型就可以简化成 ，我们假设人口是正增长的，所以 。

注意我们列出了一个什么方程呢？我们列出了一个微分方程 。为什么它是微分方程呢？因为它的式子当中不仅有 ，还有 的导数 。

可能在讲解这方面计算时，会有学生说这个方程这我不会解，因为这个是微分方程，是大学内容。其实作为高中生，我们虽然没学过微分方程，但是我们学过基本初等函数，基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数、正、余弦函数。在你学过的这些基本初等函数或者基本初等函数形式当中，哪些是符合这个方程的？或者带进去是成立的？

我们通过简单的试验，试出这样的函数 ，带到 这个方程里是成立的，学生是可以自己试一下的。所以说，这个函数就是它的一个解。

当然需要注意的是这里面 的，为什么？因为人口数不可能是负的，因为 恒成立。但还有一点需要研究，就是这个 它是不是有什么直观的意义呢？因为 的意义很明显，就是单位时间内的出生率减去死亡率 。那这个 有没有什么意义呢？我们说 的直观意义也很明显，因为令 时， ，所以说 的实际意义就是 ，即初始时刻的人口数。

3.模型检验

我们继续观察发现， 这个函数它不可能是我们人口的实际变化规律。为什么这么说呢？因为它是指数上升型，指数上升横轴是时间，纵轴是人口数，它从时间 的时候算是 ，那从 开始指数上升，我们知道指数函数的单调性是爆炸式增长，我们的人口模型肯定不是这样的，否则的话人口就会很多，很快就到达一个天文数字。

这个想法是对的，那么哪里出了问题呢？这个基本推导没有问题，那其实就是基本假设出问题了。基本假设第一条我们解释过，基本没什么问题，那肯定就是第二条错了，那第二条哪里错了呢？我们假设人口增长“仅”和生育率还有死亡率相关，说的太草率，实际上我们去考虑把地球想象成一个培养品，如果做过生物实验，你会记得，当你在一个培养品当中放一些营养液，然后往里面滴进一些细菌，让这些细菌生长，其实它不是一个无限增长的过程。它是受它的培养皿当中的资源限制，所以我们一样的不能够认为人口增长仅和生育率和死亡率有关。

那还和什么有关呢？还受资源总量一个限制，所以我们也要在符号当中和模型当中体现出资源总量的限制。所以我们设资源所允许的人口数量有一个上限是 ，这个 其实就反映了资源所能承受的一个人口数量，换句话说就反映了资源的限制。

那我们下面就根据我们修改后的这个基本假设，还有符号约定，来修正我们的模型。

4.模型修正

刚才我们建立的模型是 ，其中 。我们刚才把 当成一个常数，是因为在基本假设当中没有考虑 受资源的一个影响，现在我们要反映这个 受资源的影响。即所剩的资源越多，这个 就越大，所剩的资源越少， 就越小。

那我们用什么符号去表示这个所剩的资源的多少呢？我们要借用我们所设的资源所允许的人口数量上限 。在一段历史时期内，我们知道资源所允许的人口数量上限基本上是一个常数 ，人口越多，所剩余或所能容纳的人口数量就越少，即我们能够用 这个差值，也就是还能够承受多少人口的增长，来作为反应资源限制的一个量。即这里的 是正相关于 的， ，这里的 是一个大于零的待定参数。

这样我们把修正后 带回到我们原来的微分方程当中，做一个修正，就得到了新的微分方程 ， 。

在这个微分方程下，我们分析检测一下方程左右的量纲，依然是匹配的，没有问题。我们再从系统动力学的角度来解释一下刚才的两个模型，我们一开始的模型 就是错误的，那个模型的是仅考虑了 和 之间的关系，我们原来以为他们两个是互相加成的关系，因为如果仅考虑生育率和死亡率的话，人口数越大对人口的增长率会有一个加成，反过来增长率对人口数也有一个加成。后来我们引入了资源总量这个概念，也就是 不仅受 的影响，还受所剩资源多少的影响。我们用 来反映所剩资源。

当然，人口越多对人口的增长数肯定有一个加成，也是一个加成的关系；但是人口越多所剩的资源也就越少，所以这是一个负相关的关系。所剩资源越多，对 是一个加成关系。我们来考虑这个 和 ，现在他们就不仅仅是单纯的加层关系，有一个正相关，也有一个负相关，这也更符合我们现实情境当中对人口与资源关系的理解。

5.总结

本文主要通过人口模型的基本假设符合约定，还有模型的建立来让大家理解数学建模的基本过程。让大家去关注模型的研究目标，其次，模型的基本假设既要考虑现实的合理性，又要考虑数学上的可计算性。就比如说我们把 这个函数把它视为连续函数，并且把它视为可导函数，就是为了方便我们后面建立微分方程的模型，以及后面的求解。再有，我们是如何建立模型的？是通过考虑变化量，还有状态量之间的关系来建立的数学模型。这也是很多模型建立的时候，所参考的一个技巧和方法。再有，我们在建立模型的时候，需要考虑的单位还有量纲，以免这个方程的左右是不配平的。最后，既然这是个数学模型，它肯定不是一个一蹴而就的过程，而是需要反复思量和修订的，建模其实很好建，你胡乱建一个模型总是可以的，但是他不见得能够符合实际的需要，这个时候，我们就需要回过头来看，到底是你数学推导错了，还是你的笔误，还是说基本假设错了。哪里有错改哪里，这样往往一个模型在不断的修改当中就会不断的更加完善。

当然我们后面还会对人口模型和这个现实数据进行一个对比，来看他是不是真的能够符合实际。模型的精进是没有止境的，就是一个模型总能够变的更符合更符合更符合，因为现实的因素是无穷无尽的。

参考文献：

[1]李虎.中学数学建模案例分析——以人口模型为例.福建中学数学,2020(4)：43-46.

[2]王勇.Logistic人口模型的求解问题.哈尔滨商业大学学报(自然科学版),2006,(5).58-59.

[3]任运平,杨建雅.LOGISTIC人口模型的改进[J].河东学刊,1999,(6).23-24.

注：本文系福州市教育科学研究“十三五”规划2020年度课题立项《数学建模在高中课堂教学中的实践》立项编号：FZ2020GH003研究成果

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