追根溯源 探究新知——以一道解三角形题为例

追根溯源 探究新知 ——以一道解三角形题为例

刘传星

佛山市高明区第一中学 广东 佛山 528500

2021年佛山一模第18题是一道传统的解三角形题，在梯形中求解面积和角度问题，既考查了梯形的有关性质，又考查解三角形的知识，全面考查了学生分析问题、知识迁移、运算求解、解决问题的能力，本文主要是对第（2）问的解法进行探究，引导学生横向探究，促进学生思维的发展，挖掘数学知识的本质、渗透数学思想、提升数学素养。

一、问题提出

如 图，在梯形 中， , , , .

（1）若 ,求梯形 的面积.

（2）若 ，求 .

通过评卷发现，对于第（1）问大多数学生能够解决，对于第（2）问，学生困难很大，能够解出来的很少，得分率偏低。这引起了我的思考，我们的数学复习应该怎样更有效，学生的解题能力、解决问题能力的薄弱点在哪里。很明显，大多数学生对解三角形的知识只是停留在记忆正弦定理、余弦定理的层次，直接套用公式的题能够解决，对于多边形问题、陌生的图形、不太常规的题型就显得束手无策。让学生摆脱思维定势的束缚，善于独立思考，具有良好的知识迁移能力，探索解题新方法，积极主动解决问题是高考数学复习关键所在。

由于第（1）问难度较低，学生基本上能做对，方法也计较相似，所以本文就第二问的解法进行探究。

解法一 设 ，

则 , , , ；

在 中，由正弦定理得 ；

在 中，由余弦定理得 ；

两式相除得 ，展开得

所以 ，即

解得 或 ，因为 ，则 ，即 .

评析 这是参考答案上使用的方法，这种解法比较自然，设一个角作为变量，利用角度之间的关系进行转化、在三角形中运用正弦定理、最后求解一元二次方程即可得到答案。此方法对学生的化简计算能力要求比较高，并且要对三角恒等变化比较熟练才能迅速解题。

解 法二 设 ， ，因为 交于点 ,则 ,

因为 ，所以 ,

则 , , ；

在 中， ，所以 ；

在 中，由正弦定理得 ；

展开得 即

化简得 ，整理得 ；

解得 或 ，因为 ，则 ，即 .

评析 此方法充分考虑了三角形的边与边的比例关系，利用相似比构造边与角的关系，再利用正弦定理解三角形，此方法与解法一比较类似，也是对解三角形一般方法的巩固，利用方程的思想解题，计算量还是比较大，但更具思维性。

解 法三 设 ，

在梯形 中，有

所以

则 ，

整理化简得 ， 解得 ，即 ；

在 中，由余弦定理得 ,

解得 ； 因为 , 所以 ；

在 中，易得 .

评析 此方法充分挖掘题目所给的已知条件，结合平面向量数量积运算的特点，直接利用向量的计算出 的长度，再利用解三角形的常用方法能够轻松的解决问题。此法计算量明显减少，不再单纯地局限正弦定理、余弦定理解三角形，与平面向量知识联系起来，体现了知识间的交汇。实际上，教材上余弦定理就是通过向量的方法来证明的，这种解法能开阔学生的思维，有助于学生弄清知识的来龙去脉，提升数学素养。

解法四 如右图：设 ，

_{由题意可知 ,,,;}

因为 ；

所以 ；

即 ，解得 ；

所以 ， ；

所以有 .

评析 此方法完全摆脱解三角形的惯用方法，把一个平面几何问题坐标化，利用平面直角坐标系和向量的坐标运算解题，大大减少了运算量。思路上突破定势思维，与解析几何联系起来，对于高三学生来说，必须具备该种能力，把一些复杂的几何问题坐标化，加强知识间的联系，体会坐标法解题的优势，提升解决问题的能力。

解 法五 如右图：设 ， ；

因为 ，即 ，

所以 , ,

又因为 ，

所以 ，解得 .

评析 此方法学生容易忽视，既没有用到正弦定理和余弦定理，也没有利用平面向量，而是利用边长的关系，再运用两角和的正切公式直接求解，计算量比较小，是解决此题较好的方法。此方法思维能力要求不是很高，但对于学生而言，怎样把恒等变换的公式与解三角形的实际问题结合起来是一个难点，要求学生具有较强的知识迁移能力，复习时应该加强这方面的训练，从而提升能力。

追根溯源，回归教材，探索新知，不仅可以让学生重温教材中的知识概念、公式定理，还能让学生深入理解数学思想方法。引导学生横向联系、探究不同解法，可以让学生跳出思维的定势和知识的禁锢，加强数学知识方法的联系，促进学生思维的发展，做到一题多解、多题一解，达到融会贯通的境界，提升学习能力和学科素养。

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