一次函数的应用教学设计与思考

一次函数的应用 教学设计与思考

常改利

清远市源潭中学 广东省 清远市 511500

一、教学目标及核心素养

知识与技能：建立一次函数模型来刻画实际问题中变量间的关系；通过分析数量关系，尝试初步预测变量的变化规律，培养学生数据分析、直观想象的核心素养.

过程与方法：通过对实际问题中变量的一系列数据，在直角坐标系中观察点和这些点形成的图形，建立恰当的函数模型，求解函数模型，再利用求解的函数模型初步预测变量的变化规律，掌握相关知识和技能，培养分析、解决问题的能力.落实数学运算、逻辑推理及数学建模的核心素养.

情感、态度、价值观：体验一次函数的实际应用价值，积极利用所学知识解决实际问题，激发学习兴趣.

二、教学重、难点

重点:建立一次函数模型来刻画实际问题中变量间的关系.通过分析函数关系，尝试初步预测变量的变化规律.

难点：建立函数模型.

三、教学过程

（一）创设情境:

例1 同学们都有用过文具盒，我们市高新区新建了一家文具盒生产工厂，该工厂现在在试运营期，这段时间工作人员将日生产文具盒的总成本(元)与日产量(套)之间的关系统计如下表

（1）请据此表能否估计出该厂每日的原始成本

（2）若日产量达到6500套，则该天总成本是多少？

（3）当前文具盒的出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒多少套？

（4）在（2）条件下，该厂亏盈情况如何？

设计意图：用学生熟悉的文具盒，从本市新建的文具盒工厂试运营期统计得到的数据入手创设情境，激发学生学习兴趣.

2. 组织探究

教师：请以日产量为横坐标，该工厂日生产文具盒的总成本为纵坐标，画它们之间关系的的图象.

学生画完图后，教师用Excel软件生成散点图.

设计意图：例1没有给出明确的函数模型，数据表格也是函数的一种表示方式，借助计算机Excel软件生产散点图，体现数学与计算机技术融合.当然，学生动手作图也可取.毕竟受教学条件限制，不可能人手一台电脑，只能教师演示.

2. 新课讲解

由Excel做出的散点图的分布特征判断，该工厂日总产量y与日产量x之间的函数关系近似为一次函数 .（关于函数模型的选取，用西沃白板5制作课件时设置游戏环节，便于学生选取跟本题相关的函数模型及该函数相关知识，即复习了知识又增加了趣味性.）

取函数图象上两点的坐标：（1000,36000）、（2000,42000）代入函数解析式，得方程组

解得

所以

将 代入上式得 ，与真实数据一致.

因此 是符合实际的函数模型.

（建模、解模及验证模型，在西沃课件中使用蒙层、拖拽等功能，帮助学生逻辑严谨的规范书写解题过程）

1. 该厂每日的原始成本即产量 时 的值，为30000元

2. 当 时， 元

3. 设利润为z,因利润z=12x-(6x+30 000), 所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,

故至少日生产文具盒5 000套.

4. 由（3）可知日产量达到6500套时，该厂是盈利的，此时利润 元

（将数学问题运算的结果转化为实际问题的结论，为使学生形成书写规范的好习惯，制作课件时用了“留白”、拖拽等功能）

2. 方法归纳

（1）在实际应用中，建立合适的函数模型,把实际应用问题转化为数学问题为关键点.

解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?

第一步:分析、联想、转化、抽象；

第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题；

第三步:解答数学问题,求得结果；

第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.

而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.

（2）一次函数模型的应用

利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.

设计意图：方法归纳如同“画龙点睛”，作为高中阶段数学建模的第一课，将建模步骤详细归纳很有必要.

2. 当堂练习

商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:

①买一个茶壶赠一个茶杯；

②按总价的92%付款.

某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?

设计意图：此问题情境与实际生活息息相关，学生做题兴趣很浓厚，同时也能巩固所学.课堂上，小组合作完成.

解:由优惠办法①可得函数解析式为y₁=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).

由优惠办法②可得y₂=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).

y₁-y₂=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N), 令y₁-y₂=0,得x=34.

所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同；

当4≤x<34时,y₁2,即优惠办法①更省钱； 当x>34时,y₁>y₂,优惠办法②更省钱.

4. 反思

《普通高中数学课程标准（2017年版2021年修订）》明确指出：“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”,“在现实问题中，能够利用函数构建模型，解决问题”.本节课是一节相对简单的函数建模课，目的是让初入高中的学生明确数学建模的流程和步骤，建模能力的形成是一个循序渐进、潜移默化的过程，有待于在后续教学与学习中继续加强.

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