关于高中数学最值问题解题通法的教学研究

关于高中数学最值问题解题通法的教学研究

许丹

湖北省黄梅县第一中学 435500

1. 案例背景

最值问题是高中数学知识体系中的主要内容之一，贯穿于高中课程中，分别出现于选修教材与必修教材中。本次教学案例中呈现的是人教A版高一必修教材中的最值问题部分，具体内容为必修一“函数的性质”中利用图像与函数单调性提出的最值定义，一般地，设y=f（x）定义域为A，若存在定制x_n∈A_n，使得对于任意x∈A_n有f（x）≤f（x_n）恒成立，称f（x_n）为y=f（x）的最大值，记为y_max=f（x_n），反之则为最小值，记为y_min=f（x_n）。

高一课程中的最值问题——图像与函数单调性提出的最值定义这节课的教学目标如下：

1. 让学生从形、数两方面理解函数的单调性概念，在理解的过程中构建概念。

2. 掌握函数图像、单调性定义判断方法，掌握证明函数单调性的方法。

3. 通过探究函数的单调性定义，感受数形结合思想，逐渐形成观察、跪安、抽象的能力，形成相应的数学语言能力。通过证明函数单调性，提高学生的推理论证能力。

4. 通过本节课属性知识的学习，形成良好的思维习惯，能通过掌握函数的单调性解决数学中的最值问题，形成对最值问题的感性与理性认知。

2. 案例过程

片段（一）情境构建展示“函数单调性”，帮助学生更好理解

必修一中涉及到最值问题的知识就是函数性质这一章节的“图像与函数单调性最值定义”内容，需要学习函数单调性，初步形成最值问题思维。

教师：观看纪录片，在2008年的北京奥运会中，开幕式由原本的7月25日推迟到8月8日，你们知道是什么原因吗？

（引入社会事件，激发学生的好奇心，让学生自然的走进“观察天气变化，分析变化中的函数单调性规律”中，带领学生逐渐研究函数的单调性，启发学生的最值思维）

学生：我知道，那时候我还小，但是后来听大人们说是因为天气变化的原因。

教师：很好，请看屏幕中“天气变化折线图”，根据图示，说说当时的天气变化是怎样的呢？那么是如何计算天气变化规律，确定开幕式日期的呢？

学生纷纷观察折线图及其中数据变化，发现：北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，是比较适合组织大型赛事的开幕式。

教师：我将这些数据都通过三线表呈现出来，你们能够发现其中规律吗？

此时学生纷纷使用之前初步学习的函数的知识分析数据规律，一名学生发现：这组数据都是逐渐递减的，虽然有小的波动，但是整体趋势是逐渐向下的。

教师：那我们对这种只具有一种趋势性质的数，在函数中体现出这种规律，可以称之为什么呢？

学生统一回答：单调性。

......

片段（二）引入复杂的函数问题，让学生从不同角度理解函数的最值

通过一段时间的函数学习之后，发现最值问题存在于函数的各种问题与题目中，教师可以适当给学生呈现一些复杂的综合性题目，将图形、函数、单调性、最值问题融合起来，加强多知识点的连接，让学生通过联想、对比、应用等方法了解最值问题与其他数学知识的联系，进一步培养学生的发散思维能力。

教师：给大家一个题目，请大家想一想，这道题目中包含了哪些知识？若我们想要解决问题，需要怎样的思路呢？

（由于本题目的难度较大，高一学生无法完全解读题目，因此，仅让学生读取题目信息，了解最值问题与其他数学知识的联系，目的是拓展学生的最值思维，向学生渗透数形结合思维）

题目：某地有三家学校，分别位于矩形的ABCD两个定点A,B与CD的中点位置，已知AB=20km，BC=10km。为了处理三家企业的污水，需要在矩形中寻找一个与A，B等距离的点O位置，建设污水处理设置，连接AO、BO、PO三个传输管道，假设∠BAO=θ，管道的总长度为ykm，请将y表示成θ的函数，确定污水处理设备的位置，计算出污水管道的最小值。

教师：你们知道这个问题问的是什么吗？

学生：应该是三家企业与污水处理设备之间距离的函数问题。

学生2：题目中出现了矩形，且将矩形分割成了三角形，应该是我们还没有学习过的三角函数吧。

教师：那需要如何解答问题呢？

学生：我认为首先需要假设最短线段x长，先构建出一个y表示成θ的函数，然后根据θ角的函数取各个节点值，计算不同节点值中的数值，对比分析之后确定最小值。

3. 案例反思

根据上述两个教学片段可以看出，最值问题不是一个单一的问题，而是出现于函数中的问题，呈现形式往往是让学生根据函数的性质计算其中的最小值、最大值，既可以出现于函数的单调性中，也可以出现于三角函数问题中。在高一数学教学中，教师要想实现对高中数学最值问题解题通法的教学，就需要灵活运用最值问题的性质，带领学生不断求解各类函数问题的最大值、最小值，让学生思考不同函数中的区间范围。尤其是在必修一的函数单调性中，学生此时的知识掌握水平较低，要想获得解题通法，形成对函数单调性中最值问题的求解通用思路，既需要如片段（一）中形成对概念的主观理解，也需要如片段（二）中能够认真读取题目信息，将最值问题从函数问题中提炼出来，同时明确是“何种元素的最值”。

为了更好的实现最值问题解题通法的教学目标，我认为今后的函数、最值问题教学中还需要采取如下方法。

1. 贴合学生的实际情况设计最值问题情境，激发学生的探索兴趣，让学生自主发现问题、解决问题。举例分析，在学习三角函数时，教师可以引入“嫦娥奔月”的神话传说，为学生提供法国天文学家测量的地球与月亮的数据，直观展示图示，形成三角形的图形。通过生动直观的图像，神秘有趣的神话故事吸引学生注意力；为学生提供真实且有规律的数据，让学生通过自己的观察与思考发现数据中的规律，从而发现问题、自己解决问题。

2. 重视学生的学习动力，为学生构建自主探究空间。无论是片段（一），还是片段（二），都是我在全程引导学生思考的，可以发现，这两节课中，学生缺乏自主思考与讨论的时间与空间，这种情况虽然能够提升课堂教学效率，但是不利于发展学生的数学思维，也不利于学生形成对最值问题的深刻理解。因此在今后的最值问题研究中，我会根据“集合与常用逻辑用语”、“一元二次函数、方程和不等式”、“函数概念与性质”、“指数函数与对数函数”、“三角函数”等不用的内容，尽可能多的发掘最值问题的现实背景，让数学中的最值问题与学生的实际生活、社会生活、应用需求紧紧联系起来，让学生从“解决实际问题”的角度发现“题目中的最值问题”，通过多样、大量的最值问题练习，探索出解决最值问题的有效方法，形成通用解法与特殊解法思路。通过这种方法，让学生在大量的应用问题中自主构建最值为的解决思路模型，体会多变最值问题中的本质规律，从而促使学生更好的掌握最值问题的解题方法。

3. 适当渗透数形结合思想，简化最值问题解题思路。要想更好的帮助学生掌握最值问题的通用解法，提升教学效率。教师就要认识到不同数学思想对于简化最值问题的作用，比如：数形结合思想能够最大范围覆盖最值问题，通过数与形的转换简化最值问题，明确问题的解题思路。

四、案例小结

根据本次对高中数学最值问题解题通法的教学案例研究可以发现，最值问题具有较强的通用性，能够融入各个问题中，为学生解决函数问题提供方向，同时也需要学生掌握一定的规律，能够归纳出最值问题的通用解法。因此在今后的最值为教学中，数学教师既要注意在不同的数学知识学习中渗透最值思想，引导学生利用最值问题解决不同的数学问题，锻炼学生的“最值意识”；也要适当渗透数形结合思想，让学生在丰富的数学实践中探索简化最值问题的思路与方法，研究出函数单调性中最值问题的解题规律、三角函数中最值问题的解决规律、指数函数中最值问题的解决规律等。