基于线性回归模型的化学反应判断问题

基于线性回归模型的化学反应判断问题

赵一帅 朱福海 崔芝彬 张萌

山东协和学院 山东济南 250107

摘要；内容摘要:乙醇可以被催化剂催化生成C4烯烃。本文针对催化剂组合与反应温度影响生成C4烯烃的问题，基于多元线性回归分析建立线性回归模型，分析催化剂、温度与C4烯烃之间的关系，利用三者的关系预判消耗量与生成量，调整化学反应策略，最后给出反应方案。

关键词： C4烯烃 回归模型 多元线性回归分析

催化剂会诱导化学反应发生改变，而使化学反应变快或者在较低的温度环境下进行化学反应，因此催化剂在现代化学工业中占有及其重要的地位。C4烯烃在化工产品及医药生产中使用范围广泛，选择乙醇作为原料生产制备C4烯烃，在制备过程中，将Co负载量、Co/SiO2和HAP装料比、乙醇浓度组合在一起称为催化剂组合，催化剂组合与反应温度会对C4烯烃的选择性和C4烯烃收率产生影响，因此通过对催化剂组合的不断设计，探索乙醇催化偶合制备C4烯烃的工艺条件具有非常重要的意义和价值。本文通过建立数学模型，拟通过对乙醇催化生成C4烯烃的反应进行判断，得到判断化学反应的线性回归模型。

一.分析研究：乙醇转化率、C4烯烃的选择性与温度的关系

首先，选取性能数据表作为数据来源，以温度为自变量，乙醇的转化率和C4烯烃的选择性为因变量，借助MATLAB对数据进行可视化处理。然后，通过分析图像，确定线性关系，建立一元回归模型^[1]

，

用最小二乘法对模型进行求解。对回归模型进行显著性检验，确定模型的正确性。最后，对350度时给定的催化剂组合的测试数据表中的数据进行分析，得到反应物的转化率与各生成物的选择性与时间变化的关系。

1. 数据可视化

为了更好的研究乙醇的转化率、C4烯烃的选择性与温度的关系，将性能数据表中的催化剂组合编号、温度、乙醇的转化率、C4烯烃的选择性四项数据提取出来，借助MATLAB软件做出相关的数据散点图，选取其中4种催化剂组合A1,A2，做出如图1—图2乙醇与C4烯烃含量变化图：

以上两张图像以温度为自变量，以乙醇的转化率与C4烯烃的选择性为因变量，总体呈现为线性回归的趋势，分析该图像可以得知随着温度的增高，乙醇的转化率也会随之增高，C4烯烃的选择性也会随之增高，符合线性回归模型要求。

2. 计算相关系数

借助MATLAB软件，结合乙醇转化率与C4烯烃选择性变化图中的数据，求得乙醇转化率和C4烯烃的选择性与温度变化的相关系数r。表1为乙醇转化率和C4烯烃的选择性与温度关系的部分r值表：

表1 乙醇转化率和C4烯烃的选择性与温度关系r值表

由表中数据可以得知，所有相关系数均大于0.5，在中度相关以上，而且大部分r的值大于0.8，为高度相关，也就是说相关系数r的存在是合理的，即该图像变化趋势符合线性变化趋势，确定乙醇转化率、C4 烯烃的选择性与温度的关系是线性关系。

3. 模型的建立

因为乙醇转化率与C4烯烃的选择性变化基本相同，不失一般性，这里以乙醇转化率为研究对象，建立一元回归模型：

其中y_k表示第k组的乙醇转化率，α_k，β_k表示回归系数，x_k表示第k组的温度，_k表示随机误差，且 ～N（0,β²）。

根据公式（1），建立y_k关于x_k的线性回归方程：

，

其中 ， 分别表示α_k，β_k的估计值。

4. 模型的求解

我们用最小二乘法^[2]来估计α_k，β_k的值，使得残差_k的平方和最小，而残差的平方和为

，

此时:

根据公式（2）可以得知， 且可导，得出：

，

求解上式可得:

。

其中， ， 。

利用MATLAB进行求解得到 ， ，如下为关于乙醇转化率关于温度的回归方程：

，

同理可得关于C4烯烃的选择性的回归模型，下式为关于C4烯烃的选择性的回归方程

，

得出结论：乙醇转化率、C4细听选择性都与温度成正相关的线性关系，即在大多数情况下，它们会随着温度的升高而升高。

二.分别研究：催化剂组合及温度对乙醇转化率以及C4烯烃选择性影响

分析性能数据表，将与其他催化剂组合不同的石英砂的催化剂组合设置为对照组。研究变量间的关系，建立多元线性回归模型^[3]。

分析建立模型需要得知的数据，设出模型的初始形态，再对模型进行化简，利用向量法与最小二乘法求得各回归系数与最小误差的值，即得到模型最终解。基于多元线性回归模型的基础上，借助MATLAB求得乙醇转化率的复相关系数与C4烯烃的选择性的复相关系数，由此检验该模型的合理性。基于该模型求出乙醇转化率与C4烯烃的选择性大小的变化。

1. 数据分析

分析性能数据表，了解各种催化剂的组合以及各种催化剂组合对应的温度变化情况，其中存在着一组具有石英砂的催化剂组合，即A11组，通过查阅资料可以得知，该组中1wt%Co/SiO2主要含SiO2，且石英砂主要是由SiO2组成，而且该组合中不存在HAP，于是将该催化剂组合当作没有HAP的对照组。

分析该数据表中的其他催化剂组合，可以得知不同的催化剂组合其中的Co 负载量、Co/SiO2 含量 、HAP 含量、乙醇浓度有不相同的，因此可以将这四种因素看作是变量的存在形式，考虑温度变化对其产生的影响，温度也看作是一种变量，因为这五个变量的关系是多元的、对乙醇转化率与C4烯烃选择性是成线性相关的，以此为基础建立多元线性回归模型。

2. 模型的建立

在五个自变量已知的基础上建立多元线性回归模型：

因为C4烯烃选择性的估计值计算方式与乙醇转化率相似，于是这里以乙醇转化率为对象，建立关于乙醇转化率变化的模型。

其中：x_i1为第i次Co的负载量，x_i2为第i次实验Co/SiO2的重量，x_i3为第i次实验HAP的重量，x_i4为第i次实验乙醇浓度，x_i5为第i次实验温度高低， 为随机变量对y_i造成的影响， 符合模型假定，借助向量法对该模型进行求解，求解式列如下所示：

= + ，

分析上面公式可以得到回归模型，模型可以表示为：

(0,²E)，

化为正规方程组为（在x可逆的情况下）：

。

3. 模型的求解

根据最小二乘法估计 值记作 使 的平方和最小，即：

解公式（3）可得:

，

由此解得关于乙醇转化率的线性回归^[4]模型：

。

因为C4 烯烃选择性的估计值计算方式与乙醇转化率相似，所以，同理可得关于C4 烯烃选择性的线性回归模型：

。

由它们各自的回归系数的估计值确定，Co负载量的升高会使乙醇转化率增大，C4烯烃选择性减小，CO/SiO2含量的升高会使乙醇的转化率减小，C4烯烃选择性选择性增大，HAP的含量升高会使乙醇的转化率增大，C4烯烃选择性减小，乙醇浓度的升高会使乙醇转化率减小，C4烯烃选择性增大，温度的升高会使乙醇转化率与C4烯烃选择性都增大。

4. 模型的检验

根据定义有 ， ， 此时，它们的自由度 ，且

R²= 。

利用MATLAB进行求解得，乙醇转化率的复相关系数为0.7962，同理得出，C4烯烃选择性与自变量之间的复相关系数为0.7331，这说明回归变量与响应模型的关系密切，即模型合理。

［参考文献］

1. 司守奎,孙玺菁.数学建模算法与应用（第三版）[M].北京：国防工业出版社,2021.109-120.

2. 刘宝东,宿洁,陈建良.数学建模基础教程[M].北京：高等教育出版社,2015.201-220.

3. 吕绍沛.乙醇偶合制备丁醇及C_4烯烃[D].大连：大连理工大学，2018.

4. 韩中庚.数学建模算法及其应用（第三版）[M]北京：高等教育出社,2017.120-140.