v-t图像在板块模型中的应用

v-t图像在板块模型中的应用

唐耀龙 [1] 白伟东 [2]

[1]西安市铁一中学 陕西 西安市 710054 [2]临潼区铁路中学 陕西 西安市 710600

摘要：把滑块和长木板组成的相互作用的系统称之为板块模型。该模型往往包含多个过程，其中涉及运动学、牛顿力学以及功能转化等诸多问题，是历年物理高考的考点和热点，备受高考物理专家的青睐。本文以板块模型为背景，讨论了v-t图像在板块模型中的应用，通过与传统动力学的解法比较，说明v-t图像处理板块类动力学问题的直观性和简便性。

关键词：板块模型 牛顿力学 v-t图像

引言

2021年高考理综全国乙卷第21题，在板块模型的基础上，稳中求变，考查学生在新情境下构建模型，运用基础知识，基本方法，如通过F-t，a-t图像结合牛顿运动定律的应用，分阶段解决问题的能力，评价学生对物理规律和数学方法的综合应用，突出了对科学思维中模型建构和科学推理的考查，效果好。从高中物理教学理念发展趋势来看，新课标的课程总目标要求使学生“学习终身发展必备的物理基础知识和技能”，以物理模型构建物理基础知识和技能的教学内容为教学提供了丰富的物理基础知识和技能方面的素材。由此启发，本文讨论“v-t图像在板块模型中的应用”，同时涉及动量的考查，体现综合性。

一、建立板块物理模型

例题：如图（1）所示，质量为M的长木板A静止在光滑的水平面上，有一质量为m的小滑块B以初速度v₀从左侧滑上木板，且恰能滑离木板，滑块与木板间动摩擦因数为μ。试分析：若只增大M，则滑块滑离木板过程中滑块所受到的冲量如何变化？长木板受到的冲量又如何变化？

图（1）

2. 滑块—木板模型特点

滑块-模板模型包含如下特点：

1．把滑块、木板视为一个系统，摩擦力成为系统的内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统水平方向动量守恒．

2．由于摩擦生热，系统的机械能不守恒。根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝F_f·s_相对，其中s_相对为滑块和木板相对滑动的路程．

3．若滑块不滑离木板，二者最终具有共同速度，类似完全非弹性碰撞，系统机械能损失的最多。系统损失的机械能为ΔE＝F_f·L，其中L为长木板的长度。

三、多种思维分析板块模型

1.传统的动力学解法

当滑块B滑落长木板A时，滑块B和木板A的速度分别是 和。将A和B视为系统，在光滑水平面上满足动量守恒

（1）

滑块B滑落长木板A的过程中满足能量守恒

（2）

将（1）式带入（2）式，消去 可得

（3）

该方程式是关于 的一元二次方程，令

（4）

可证 ，根据二次函数求根公式可得

（5）

不符合物理情景，故舍去！令 ，将（5）式变形，则

（6）

结果讨论：根据数学函数知识的性质可知，证明（6）式在M增大时右半部分的增加量大于左半部分的减少量。最终证明 是随M增大的增函数。

当M增大到很大（相比m，可以认为M无限大）时，滑块滑离木板时的速度 较大，滑块动量变化量m|V₁-V₀|减小，即滑块受到合外力的冲量也减小。由系统的动量守恒定律知，长木板动量变化也减小，同理，根据动量定理可知木板受到的冲量减小；

模型评析：该过程主要考察学生的物理科学思维。用传统动力学解析法处理板块模型的动力学问题通常繁琐，在时间一定的情况下，对学生的数学综合能力要求较高，中等学生往往逐渐会失去学习物理的兴趣。因此，对于物理教学，把复杂问题简单化、把简单问题生活化，这是我们物理教师需要的教学策略，提升学生学好物理的信心是我们教学中的途径。引导学生理论联系实际，让学生最终喜爱物理、热爱生活、创造生活，这是我们物理教师的最终目的。

2.极限思维分析法

当滑块滑离木板时，对滑块应用动能定理，可得：

（7）

由极限法，当M较小时，长木板在木块施加摩擦力的作用下，加速运动的加速度较大，其运动的位移x_M也会较大，滑块的位移等于x_M＋L同样比较大，系统克服摩擦力损耗的机械能就较大，故滑块滑离木板时的速度 就较小；反之，当M增大到很大时，滑块滑离木板时的速度 较大，滑块动量变化较小。由动量守恒定律知，木板动量变化也较小，再根据动量定理知，木板受到的冲量较小。

3 .v-t图像分析法

图（2）为小滑块B以初速度v₀从左侧滑上木板，且恰能滑离木板的v-t图像。AB的斜率 为滑块在长木板上滑行时减速运动的加速度_，OB的斜率 为长木板加速运动的加速度 。t₀之后二者刚好以等大的速度v做匀速直线匀速。滑块和长木板与v-t轴围城的面积之差S_OAB表示相对位移，即长木板的长度L。

当增大长木板的质量M，滑块B滑落长木板A时，滑块B和木板A的速度分别是 和 。滑块在长木板上滑行时所受摩擦力 没变，故其v-t图像的斜率 不变。而长木板质量的增大，其加速度减小， 减小，故运动的v-t图像如图（3）所示。

由于滑块滑落长木板时二者的相对位移L没有变，故滑块必在t₀时刻之前的t₁时刻滑落长木板，才有面积S_OAEF等于面积S_OAB，由v-t图像可知滑块滑离长木板的速度改变量|v₁-v₀|<|v-v₀|，进而可知滑块的动量改变量减小，受到合外力的冲量减小。同理，由v-t图像可知长木板的速度改变量|v₂-0|<|v-0|，进而可知长木板的动量改变量减小，受到合外力的冲量减小。

思维拓展：

用 v-t图像分析，若只减小摩擦因素 ，则滑块滑离木板过程中滑块对地的位移如何变化？当只有 减小时，滑块的加速度 和长木板 都将会减小，如图（4）所示，在v-t图像中各自的斜率减小。

其中，二者与速度-时间轴围成的面积之差S_OAPQ等于长木板的长度，故滑块滑离木板过程时t₂时刻必小于t₀时刻。长木板在t₂间隔内移动的位移x_M（阴影部分面积）减小，滑块的位移等于x_M＋L也会减小。

评析：v-t图像在中学物理解决动力学问题当中的应用十分广泛，这是因为它具有如下优点：能形象地表达物理规律、能直观地叙述物理过程、能鲜明地表达物理量间的依赖关系。在众多物理图像中，图像与坐标轴所围成的“面积”常与某一表示过程的物理量相对应，如能充分利用“面积”这一特点来解题，不仅思路清晰而且在很多情况下可以使解题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果。^[1]

四、结束语

新课改之后，高考的板块模型计算题由单一物体的多过程问题向多个物体的多过程问题变化，其中心都是围绕二者运动的同时性、独立性和相对性来设置相关的问题。解板块模型类问题的总体思路和方法就是:从物理情景中确定研究对象，根据板块间的相互作用特点和各自的受力情况，建立物理模型，按各自运动的发展过程逐一分析，画出运动过程示意图，找出两物体相对运动的几何关系，善于挖掘隐含条件和临界条件,找出与之相适应的物理规律及题目中给出的某种等量关系进行表达，必要时借助于几何图形、函数图象进行表达，通过数学方法的演算，得出物理结果^[2]。

【参考文献】

[1] 赵天祥.牛二诚可贵,图像价更高——新课标背景下的板块模型探讨[J]. 高考. 2019年05期：第73-74页

[2] 刘强，王革. 透析板块模型 突破高考动力学大题[J]. 教学考试. 2018年31期 第27-30页