谈“四新”背景下，数据分析核心素养的提升--以排列组合的易错题习题课教学为例

谈“四新”背景下，数据分析核心素养的提升 -- 以排列组合的易错题习题课教学为例

兰海鹏

广东省深圳市福田区红岭中学 广东深圳 518000

摘 要：当前新高考、新课程、新课标、新教材在全省各高中学校全面铺开实施，在“四新”背景下，本文以一节排列组合的习题课为例，设计出合适的题目来提升学生数据分析核心素养。

关键词：核心素养；数据分析；排列组合；思想方法

1概述

2020年秋季开始，高中全面进入新高考阶段。其中，2020级新生开始使用新课标、新教材。至此，新高考、新课程、新课标、新教材在全省各高中学校全面铺开实施。在“四新”背景下，高中数学教师如何迅速适应新的教育教学要求？如何有效提升高中生数学核心素养？针对这一系列问题，本人的名师工作室一直在努力摸索和探寻答案。

数学核心素养的本质就是指导学生通过数学的角度看待问题，条理清晰地进行理性的思维和严密的证明，通过逻辑推理，清晰准确表达结果。做事思路清晰，行事干练，这是受益终身的数学核心素养。高中阶段的数学核心素养有六个，由参考文献[2]可知，一般情况下，学生对六大核心素养掌握情况存在差异，其中数学建模和数据分析对于其他四个素养的依赖性较大，是更高维度的核心素养。

排列组合是高中数学非常重要的研究内容。由于其在高考分值上所占比重不高，导致了很多老师没有着重研究这部分的教学方法，纯粹依赖学生的“天赋”完成教学。但排列组合对学生数据分析的核心素养要求非常高，这也导致了很多学生“望题止步”。本文以一节排列组合的习题课为例，浅谈课堂教学中如何提高学生数据分析素养。

2教学片段

2.1天下谁人不识君

类比物理学中的并联与串联电路理解两个计数原理，分类加法计数原理可类比并联电路，分步乘法计数原理可类比串联电路，这样可以形象地理解两个计数原理。

例1 如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路？

[解析]　第一类：有一条线路。第二类：有3×2条线路。第三类：有2×2条线路。根据分类加法计数原理，从A到B接通时共有1＋3×2＋2×2＝11种不同线路。

[设计意图] 本题是在掌握两个计数原理公式的基础上，利用两个计数原理的公式进行类比并直接运算，考查学生的数学计算以及数据转化与化归能力。

2.2多才多艺，才高八斗

生活中总有各种“多面手”，这类问题需要使用特殊元素或者特殊位置优先考虑的思路。解答的重点是关注“多面手”，进行合理恰当的分类是解题的关键。

例2 在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？

[解析]　选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选。互相搭配，可得四类不同的选法。

第一类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；

第二类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；

第三类：从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；

第四类：2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．

∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法。

∴共有18种不同的选法。

[命题意图] 数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段。数据分析依赖于数学运算，分类讨论是数据分析中的一个重要思想。

2.3最是橙黄橘绿时

解决涂色(种植)问题的一般思路：①按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；②以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析；③将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题。

例3 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图所示的图中，要求相邻的两个区域的

颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？

[解析] 给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示

①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)，

②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)，

故共有48＋24＝72种不同的涂色方法。

[命题意图] 分析思路为确定A区域的涂色方法⇒确定B区域的涂色方法⇒确定C区域的涂色方法⇒确定D区域的涂色方法。涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，是学生需要掌握的分析数据的常用方法。

2.4柳暗花明，模型先行

模型法就是通过构造图形，如树形图、表格等，利用形象、直观的图形帮助我们分析、解决问题的方法。模型法是解决计数问题的重要方法。

例4 三人传球，由甲开始发球，并作为第1次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有多少种？

[解析]　如图：甲→□→□→□→□→甲。第一个空与第四个空不能是甲，分三类讨论：

(1)若第二个空是甲，则第一个空有2种选择方式，第三个空有2种选择方式，第四个空仅有1种选择方式，所以有2×2＝4种方式；

(2)若第三个空是甲，同上，有2×2＝4种方式；

(3)若第二个、第三个空都不是甲，则仅有如下两种传球方式：

甲→乙→丙→乙→丙→甲；

甲→丙→乙→丙→乙→甲。

所以共有4＋4＋2＝10种方式。

[命题意图] 灵活使用模型法解决计数问题在这里以“□”来构造模型，利用数学建模进行数据处理和分析，从而使看不见摸不着的动态传球问题变得形象直观起来。

2.5白玉微瑕，美中不足

数据分析过程一定要注意各类限制条件。在排列数公式中，隐含条件 错解没有考虑到 导致错误．忽视 中的隐含条件而致误。

例5 不等式 的解集为__________．

[错解]　由排列数公式得 ，

化简得 ，解得 .因为 ，所以

[正解]　由 ，得 ，

化简得 ，解得 ①又 所以 ，②

由①②及 得 .

[命题意图]　解含排列数的方程或不等式时，要注意排列数 中， 且 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围。

2.6相逢何必曾相识

解决排列、组合综合问题的策略：(1)解决排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列。(2)解决排列、组合综合问题应注意：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题。②对于多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步。

例6　从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？

[解析] (1)五位数中不含数字0.

第1步，选出5个数字，共有 种选法。第2步，排成偶数，先排末位数，有 种排法，再排其他四位数字，有 种排法。∴ .

(2)五位数中含有数字0.

第1步，选出5个数字，共有 种选法。第2步，排顺序又可分为两小类：

①末位排0，有 种排列方法；②末位不排0，这时末位数有 种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有 种排法，其余3个数字有 种排法。

∴ ．∴符合条件的偶数的个数为 .

[命题意图] 讨论五位数中含“0”与否，是解答本题的关键。(1)末位排0与否，应分类讨论，否则极易出错。(2)本题是分类情况下的分步排列、组合问题，必须将所讨论的各种结果相加，否则会丢分。(3)解题过程中要注意分析特殊元素、特殊情况对结果的影响，并注意总结，避免因考虑问题不全面而丢分。

3总结和建议

相对于其他数学核心素养，数据分析是难度更大的、更高维度的核心素养。课堂教学要将培养学生的数据分析素养作为教学目标，教师通过精心设计题目引导学生思考“这类数据如何分析？哪种分析手段最好？分析中的注意事项是什么？”学生通过比较、联想、特殊化、类比进行强化，形成研究思路、找到研究方法，使其数据分析核心素养大幅度提高。

参考文献：

1. 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.

2. 张淑梅,何雅涵,保继光.高中数学核心素养的统计分析[J].课程•教材•教法,2017(10):51-54.

3. 章建跃,程海奎.高中必修课中概率的教学设计和教学思考--兼谈“数学核心素养如何落地”[J].课程•教材•教法,2017(5):27-33.