几种常用静电场计算方法的探讨

几种常用静电场计算方法的探讨

张淑霞，吴安坤 ，陈春

（贵州省气象灾害防御技术中心 ，贵州 贵阳 550002）

摘要：大气中的静电学问题可以归结为求满足边界条件的泊松方程的解。一般常用的数值解法包括模拟电荷法、有限元法、边界元法以及有限差分方法等。这些方法都有各自的长处及适用范围，本文将对这几种常用方法进行介绍及比较，并选择合适的方法用于雷暴云大气电场的计算。

关键词：模拟电荷法；有限元法；边界元法；有限差分法

处理大气电场观测资料的误差问题，可以采取两种方法。第一是实验方法，这种方法需要寻找一处受环境影响很小的观测场所，并将一台电场仪安装在这个地方，然后将它的观测结果和需要标定的大气电场仪的观测结果进行对比标定。但这种方法需要大量的人力、物力和财力，鉴于本项目的既定目标，这种方法可以在今后的业务工作继续完成。另外一种是理论定标的方法，这种方法采取了准静电场的计算方法，可以在一定程度上去掉一部分由于环境造成的测量误差。由于目前有关准静电场的计算方法比较成熟，所以这种方法是比较廉价、切实可行的。本文主要详细介绍几种有关准静电场的计算方法，从理论上论证可以利用这种模式来剔除由于复杂环境造成的部分大气电场测量误差的问题。

1、模拟电荷法

模拟电荷法（Charge Simulation Method）是一种求解静电场问题的有效方法，是将原边值问题转化为电源问题来处理的。它在场域中加入虚拟电荷，用虚拟电荷的影响来等效代替边界的影响，是一种镜像法的推广，国外也有人称为模拟镜像法。根据唯一性定理，这些虚拟电荷在边界上产生的电位满足给定的边界条件，那么，可以用这些虚设的模拟电荷来计算整个场域的电场。

用模拟电荷法计算电场时，可以根据模拟空间中电极的形状事先给定模拟电荷的类型和数目等，这样，场域中任意点的电位均是由各个模拟电荷的位置和电量决定的，其共同构成的多元函数可以表示为：

；(1-1)

式中 为第 个模拟电荷的电量； 为第 个模拟电荷的位置矢量； 为第 个场点的位置矢量； 为第 个模拟电荷对场点 的电位系数。

为了更好地保证边界条件，可在边界上选取较多的轮廓点，使表面轮廓点m大于模拟电荷的个数n，这样，式(1-1)就成为一个超定非线性方程组。根据变量和边界点选取的不同，常用的求解方法有三种：高斯法，自适应最小二乘法，以及采用变尺度法（DFP）的优化技术。

模拟电荷法的优点在于方法简单、实用性强，计算静电场时无需封边，可以避免出现因封边引入的误差。在计算时，使计算问题的维数降低一维，因而可以用直接法求解方程组，并且能够直接求解出场域内任意点的场强，计算精度也比较高。但它仅适用于无界的且介质种类较少，以及电极形状比较简单的电场问题计算。如果要计算的场域内存在多种介质，而且介质分界面处形状又非常复杂，模拟电荷法就显出其局限性了。

2、有限元法

有限元法（Finite Element Method）是应用最为广泛也是研究最多的一种电磁场数值分析方法^{Error: Reference source not found}。有限元法是根据变分原理和离散化而取得近似解的方法。它不是直接对电磁场的偏微分方程求解，而是先从偏微分的边值问题出发，找出一个能量泛函的积分式，并在其满足第一类边界条件的前提下取极值，即构成条件变分问题。对第二类或第三类边界条件，在变分问题中无须单独列出，它们本身已经包含在泛函达到极值的条件中了，已自动满足极值解的要求。如果场域内存在着不同的媒质，则媒质分界面处的边界条件为自然边界条件，其相应的变化问题称为无条件变分问题。对于第一类边界条件，在变分问题中与微分方程边值问题中是一样的，必须作为定解条件列出。也就是说，极值解必须在满足这个边界条件的函数中求得，这类边界条件被称为加强条件，相应的变化问题是条件变分问题。有限元便是以条件变分问题为对象来求解电磁场问题的。偏微分边值问题可表示为：

在 上

在 上 ；(2-1)

在 上

其中， ， 是材料和位置的函数， 是计算区域， 和 是计算边界。通过有限元法求解一般要经过如下步骤：

（1）给出与待求边值问题相应的泛函及其变分问题。等价于(2-1)所述边值问题的变分问题可表示为：

在 上 ；(2-2)

（2）剖分场域 ，其典型的剖分单元有三角形、角锥；四边形、四面体等，并选出相应的插值函数。在任意单元中有：

；(2-3)

（3）将变分问题离散化为一种多元函数的极值问题，可得到如下一组代数方程组：

；(2-4)

其中， 为系数矩阵； 为离散点的插值。

（4）选择合适的代数解法求解式(2-4)，即可得到待求边值问题的数值解 。

有限元法建立在泛函和矩阵空间理论基础之上，其算法有严格的数学证明，场域剖分、误差估计都有一系列理论依据。适用于区域边界线和内部媒质分界线形状复杂，以及场域内场的分布变化较大的场合。易于拟合复杂的几何结构，易于对复杂介质目标建模，从而在电磁学中得到广泛应用。

3、边界元法

边界元法与有限差分和有限元法相反，特别适用于求解开放型边界问题，它不用对整个场域，而只需对场域的边界进行离散化处理，因而也适用于几何形状复杂的场的边界问题的求解。在多数情况下，用边界元法计算可使物理模型的计算维数降低一维，从而使数据准备、计算量、存储量等都得到相应的减少。

边界元法的前身是矩量法（Moment Method）。矩量法是由加权余数法推导演化而得的，而电荷密度法等边界元方法也同样可以从加权余数法推导得到。

边界元法分析电磁场的基本思路就是利用边界上已知的 、 的值，推出边界上未知的 、 值，然后求解区域内任一点的 值。

设一区域 中电荷 已知，边界 上 已知， 上 已知，求 中的电位 ，最后可得：

；(3-1)

4、有限差分法

由于模拟电荷法较适用于电极形状比较简单的电场问题，对复杂地表的电场计算具有一定的局限性。而有限元法分割的元素数和节点数较多，导致需要的初始数据复杂繁多，并且计算较为复杂。因此，对比各种方法之后本文选用了格式较为简单、处理方便的有限差分方法。

有限差分法（Finite Difference Method）的原理是将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点来代替连续的求解域，把求解域上连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似，把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，这样，原微分方程就近似的以代数方程组来代替，即得到了有限差分方程组。解此差分方程组就可以得到原连续问题在离散点上的近似解，以求得在整个区域上的近似解。

在求解三维静电场时，电势分布应满足泊松方程：

；(4-1)

在直角坐标系下表示为：

；(4-2)

其中 为自由电荷密度， 为介电常数， 为电势。在没有自由电荷的区域里， ，此时泊松方程就简化为拉普拉斯方程：

；(4-3)

在直角坐标系下拉普拉斯方程表示为：

；(4-4)

在求解三维泊松方程或拉普拉斯方程时，本文采用七点差分格式^{Error: Reference source not found}，即中间点0的值是由周围的6个点来确定的，如图1-1所示：

图1-1 七点差分格式

假定在x、y和z方向上的步长均相等，且均为h，则上式（4-2）通过Taylor级数展开，再经过整理，得到了中间点0上的电势值与周围6个点处电势值的关系：

；（4-5）

带入图1-1中所标注的各点，即：

；（4-6）

相应的拉普拉斯方程的七点差分方程为：

；（4-7）

求得每个节点的电势值之后，空间电场由下式给出：

； （4-8）

由于本文中采用的七点差分格式中每个节点都是由其周围的六个点确定的，在边界上的点无法进行计算，在处理边界时，底面采用第一类边界 ，其余5个面均采用第二类边界条件进行迭代计算，尽量使边界造成的影响降到最低。

差分方程组的解法主要有同步迭代法、异步迭代法和超松弛迭代法三种。一般常用超松弛迭代法和线迭超松弛迭代法，在使用时，松弛因子的选择比较重要，若选择得当，可以加速迭代的收敛。

本文在计算时采用了超松弛迭代法，超松弛迭代在计算每一节点时，会将之前计算得到的临近点的电势新值带入，即在计算点 的电势时，把它左边的点 的电势和下面的点 的电势，以及前面的点 的电势用刚才算得的新值代入，即：

；（4-9）

上式由于提前使用了新值，收敛速度加快。再把式（4-6）写成增量形式：

；(4-10)

这时每次的增量，即上式右边的第二项，就是要求方程局部达到平衡时应补充的量。为了加快方程的收敛速度，这里引进了一个松弛因子 ，此时上式可以改写为：

； (4-11)

式中松弛因子 的最佳值为：

； （4-12）

式中，

分别为 向上的网格数。不同的 值，会有不同的收敛速度，其取值范围一般为1与2之间。也就是说，我们可以使每点的增量超过使方程达到局部平衡时所需的值，这将加速解的收敛，缩短计算时间。

5. 结论

有限差分法原理容易理解，单元划分比较简单，也便于计算机编程实现，适用范围较广。它不仅可以用于边界形状规则的第一类边界和第二类齐次边界中场的计算，还可以用于静态场，时变场，线性场和非线性场等。但是，它同时也有一些不足之处。首先，由于有限差分采用的是用网格来划分场域的基本方法，因此，在处理对复杂形状区域的边界时，它也需要将边界划分为网格，处理上有些粗糙，计算误差也比较大；其次，有限差分法的计算精度取决于网格的格距大小，通常选取格距越小精度越好，但是格距小时，节点数会迅速增加，当计算场域较大时，矩阵的阶数增大，计算量随之增大，这样不仅会延长计算时间，对计算设备也提出了更高的要求。在一些实际问题中，还会出现场域边界与网格节点不完全重合的现象，这样就破坏了稀疏矩阵的对称性；第三，这种方法只能计算有限场域问题，对无界区域问题或电磁场的远场，则不能够直接求解。

参考文献

[1] 王泽忠.工程电磁场.清华大学出版社.2011.1.

[2] 姚振汉，王海涛.边界元法.高等教育出版社.2010.4

[3] 尹飞鸿.有限元法基本原理及应用.高等教育出版社.2010.7.

[4]朱幼兰.初边值问题差分法及绕流.科学出版社.1980.