例谈求动点轨迹方程的几种方法

例谈求动点轨迹方程的几种方法

关传平 袁媛

河南省濮阳市第一高级中学 457000

求动点的轨迹方程问题是高考的热点问题，难度较大，根据近几年全国卷的相关题目的得分情况开看，得分率普遍较低.求动点轨迹方程的关键是要仔细审题，分析已知条件和动点轨迹的特点，然后将动点满足的条件用动点坐标来表示，化简要注意等价变形，并要考虑一些特殊点是否适合方程.

求动点的轨迹方程的一般步骤：在平面直角坐标系中，设动点 ，根据题目条件，得出横坐标x与纵坐标y的关系式，即为动点的轨迹方程.简化来说，核心步骤是建系、设点、列式、代人、化简、检验.

一、待定系数法

当已知曲线的形状时，利用待定系数法，设出曲线方程，根据已知条件，求出未知数.此类题目一般比较简单.

例1.与椭圆 共焦点，且过点 的双曲线方程为（ ）

A． B． C． D．

【解析】由题得椭圆的焦点为 ，所以双曲线的焦点为 ，

设双曲线的方程为 ，所以 ，解之得

所以双曲线的方程为 .故选：B.

【答案】B.

二、定义法

定义法往往是根据课本中椭圆、双曲线与抛物线的定义，需要利用数形结合思想，挖掘位置关系，研究动点满足的几何特征，从题目的已知条件中提取出相关定义进行求解.

例2.动圆M与圆 外切，与圆 内切，则动圆圆心M的轨迹方程是__________.

【来源】安徽省淮南市2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试题

【解析】设动圆的圆心为： ，半径为 ，

动圆与圆 外切，与圆 内切，

所 以 ， ，

，因此该动圆是以原点为中心，焦

点在 轴上的椭圆，且 ， ，解得 ，

∴ ， 椭圆的方程为： .

【答案】 ．

名师点拨：如果动圆与两个相互内含的定圆的位置关系为一个内切，一个外切，那么动圆圆心的轨迹为椭圆.同样可得：

1.如果动圆与两个相离的定圆（圆M、圆N）的位置关系为与某一个外切，某一个内切，那么动圆的圆心的轨迹为双曲线；

2.如果动圆与两个相离的定圆（圆M、圆N）的位置关系为与圆M外切，与圆N内切（与圆M内切，与圆N外切），那么动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支；

3.如果动圆与两个相离的定圆的位置关系为同时外切或内切，那么动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支.

4.如果动圆与一个定圆和一条直线同时相切（直线与定圆不相切），那么动圆的圆心的轨迹为抛物线；

5.如果动圆与一个定圆和一条直线同时相切（直线与定圆相切），那么动圆的圆心的轨迹为抛物线或一条射线.

三、直译法

根据题意中动点的几何关系，将其转化为动点坐标 的关系式，化简后即为动点P的轨迹方程，在将关系式进行变形和化简的过程中，一定要注意是否等价.

例3..动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是 ，则动点 的轨迹方程是___________.

【来源】广东省阳江市第三中学2019-2020学年高二上学期第二次月考试题

【解析】设 ，则 ，化简得： .

【答案】 .

名师点拨：已知平面内某动点P到定点F的距离与到定直线l的距离之比为e，当 时，动点P的轨迹为椭圆；当 时，动点P的轨迹为双曲线；当 时，动点P的轨迹为抛物线.此为圆锥曲线的第二定义.

例4.已知两点 、 ，直线 、 相交于点 ，且这两条直线的斜率之积为 ，则点 的轨迹方程为________.

【来源】河南省南阳市第一中学2019-2020学年高二上学期第四次月考数学（理）试题

【解析】设点 ，由直线 、 的斜率之积为 ，

整理得 ，即 ，

因此，点 的轨迹方程为 .

【答案】 .

名师点拨：已知平面内某动点P到两定点 ， 的斜率的乘积等于常数 ，则该动点的轨迹为椭圆；动点P到两定点 ， 的斜率的乘积等于常数 ，则该动点的轨迹为抛物线.此为圆锥曲线的第三定义.

四、相关点法（涉及点差）

根据题目中的条件，无法直接列出动点的相关关系式，但是所研究的动点本身不是主动

运动，而是受另一动点运动的牵制，即动点是随着另一相关点的运动而运动，一般需要将两个点的坐标都设出来，用动点的坐标表示相关点的坐标，代入相关点所满足的等式，便可得到动点的轨迹方程.

例5.已知椭圆 的左右焦点为 、 ，点 为椭圆上任意一点，过 作 的外角平分线的垂线，垂足为点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，线段 的中点为 ，则点 的轨迹方程为___________.

【 来源】邯郸市大名一中2020-2021学年高二上学期10月月考题

【解析】如图，延长 交 的延长线于 ，连接 .

因为 为 的平分线且 ，

故 为等腰三角形且 ， ，

所以 .

在 中，因为 ，所以 ，

故 的轨迹方程为： .令 ， ，则 ，

因为线段 的中点为 ，所以 ，所以 ，即 .

【答案】

.

五、参数法

有些题目很难直接找出动点的横、纵坐标，如果中间借助中间参数，如斜率、变角等，可以很容易地使动点的横、纵坐标之间建立联系，消去参数，即得动点的轨迹方程.消参时一定要注意参数的取值范围对方程中的x和y的范围的影响.

例6.平面直角坐标系中，已知两点 ， ，若点 满足 ( 为原点)，其中 ，且 ，则点 的轨迹是（ ）

A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线

【来源】陕西省渭南市临渭区2019-2020学年高一下学期期末数学试题

【解析】设 ，则

，解得： ， ，

，整理得： ， 点 的轨迹是直线.

【答案】A.

六、交轨法

如果动点是两条动曲线的交点，即动点的坐标同时满足两条曲线方程，选出一个适当的参数，求出两条动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程，需注意动点的取值范围．

例7.已知过点 的直线与 相交于点 ，过点 的直线与 相交于点 ，若直线 与圆 相切，则直线 与 的交点 的轨迹方程为__________.

【来源】江苏省南通市如皋中学2020届高三创新班下学期高考冲刺模拟（三）数学试题

【解析】设直线AC，BD的斜率分别为 ，则直线AC，BD的方程分别为： ，据此可得： ，

则： ，直线CD的方程为： ，

整理可得： ，直线与圆相切，则： ，

据此可得： ，由于： ，

两式相乘可得： ，

即直线 与 的交点 的轨迹方程为 .

名师点拨：求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形，消参的途径灵活多变；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

注明：本文系2021年度河南省基础教育教学研究项目《新课标下数学思想方法在高中物理中的应用与研究》（课题编号 JCJYB210609028）的研究成果。