用函数思想指导高中数学解题

用函数思想指导高中数学解题

苏金超

福建省南安国光中学 福建南安 362321

摘要：高中阶段是学生人生的重要转折期，对学生的未来具有重要意义，而若想走好这一关键步骤，就离不开数学学科的学习，可以说数学考试成绩不仅是高考成绩的重要部分，更在一定程度上决定了学生未来的人生道路。然而，随着数学课程改革的逐步推进，高中数学已经不再单单是提高学生应试能力的重要手段，更承载着全新的教学任务，即培养学生的思维能力。而传统的数学解题教学方法已经无法满足学生学习数学和解答数学题目的现实需求，这就需要进一步探讨将数学方法渗透进高中数学解题中的有效路径。

关键词：高中数学；函数思想；解题；指导

引言：函数思想是构成高中数学知识性思维方法的重要内容，是在数学问题的分析和解决上以函数知识作为思想指导，来促进学生数学建模观念的形成。数学解题是高中数学学习过程中及其重要的环节，将函数思想贯穿到高中数学解题教学中，有助于培养学生的逻辑思维能力，促进学生解题效率的提升。

一、函数思想对高中数学解题的作用

抽象的数学题目通过函数思想和函数方法的作用，可以呈现出另一种数学表达方式，这不仅仅体现了数学知识之间相互转化的内在联系，更是对学生固有数学解题观念的打破，是学生获得全新解题思路的重要方法。

（一）促进学生对数学知识的理解与应用

素质教育背景下，培养学生的综合能力、实现学生的全面成长已经成为学校教育的重要目标，对于高中数学解题教学而言，将函数思想渗透到具体问题的解决中，可以实现复杂问题向简单问题的转化，可以为学生的解题带来一种“拨开云雾见日出”的感觉，从而摆脱传统解题方法的束缚，形成一种更为便捷的解题思路，使学生逐渐树立起数学知识之间相互转化的学习意识，一方面有助于学生完整数学知识体系的建立，另一方面可以激发学生对数学知识的学习兴趣和探索欲望，并将其合理地应用到数学解题过程中，与素质教育要求相吻合。

（二）促进学生数学思维、科学态度的优化

数学题目的解答是一个复杂性的过程，既要考察学生对题目的理解能力，又要考察学生透过表象分析问题本质的能力，同时也要求学生具备扎实的专业知识。本质上来讲，解题过程就是学生应用思维理解能力分清题干中的主次和隐含数量关系，然后运用函数绘图的方式将这些数量关系以直观化的图形展示出来，从而解答题目的过程。在这个过程中，学生的数学思维和理解能力得到了不断地优化，不仅有助于提升数学解题效率的提高，也将对其他学科的学习起到事半功倍的效果。同时，由表及里、由现象到本质的处事思路也有助于学生科学态度的培养。

二、用函数思想指导高中数学解题

对比近几年的数学高考形势，不难发现，学生综合运用多种知识的能力越来越成为新高考的考查重点，而作为高中数学重点教学内容的函数思想，是在高中数学解题中一以贯之的重要知识和重要方法，也是综合运用数学知识高效、优质解决数学问题过程中不可或缺的重要思想。因而，积极开展函数思想来指导高中数学解题至关重要。

（一）应用函数思想解决不等式问题

函数是一个用来表述两个变量关系的数学模型，而不等式问题，特别是含有两个未知元素的不等式问题，应用函数思想对其进行分析、归纳和解决，能够有效避免学生陷入解题的死循环中，使学生的解题思路更加清晰，解题答案准确率更高。同时，不等式和函数区间中的正负有直接关系，倘若视不等号右侧为0，用函数表现出不等号左边的数量关系，就可以通过函数的基本特征、函数图像等直接解答不等式问题。以下题为例：

已知p∈[0,4]，x²+px+3＞4x+p恒成立，求x的取值范围。

倘若以传统的解题思路，对题干进行移项处理，然后求取x的值，就会使问题更加复杂，更加会加大学生的解题难度。倘若以函数思想对其进行分析，可将问题转化为C＝（x²-4x+3）+（x-1）p＞0，这样，原题干就变成了一个自变量为p（p∈[0,4]）的函数问题，再结合所学知识，可以得出结论x∈（-∞，-1）∪（3，+∞），对于学生而言，解题难度得到了大大降低。

（二）应用函数思想解决数列问题

数列问题是以一组固定顺序排列的数字作为对象，探讨其规律并计算出指定位置的数字是什么，或者计算前n项之和的问题，数列中的每一个数字都是其中的一个项，将函数思想渗透进数列问题的解决中，可以将数列的通项公式转化为函数公式问题，因而就可以将函数性质作为解题的思路，从而简化复杂问题。

比如，等差数列的前m项的和为n，n项的和为m，已知m≠n，那么m+n的和应该是多少？

在解答这个问题时，关键的一点在于把握等差数列前n项和满足的关系式。将函数思想渗透其中，首先可以确定的一点是：这是一个经过（0,0）的二次函数，因此，可列出以下关系式：Sn=An²+Bm，则Am²+Bm=n，An²+Bn=m。两两相减可得A（m+n）+B=-1，因此，A（m+n）²+B（m+n）=-（m+n），最终得到的结果是Sm+n=-（m+n）。解答这道题目时，最关键的一个环节在于视A（m+n）+B为一个函数，这样才可以简化问题。

（三）应用函数思想解决方程问题

含有一个多多个未知数的等式即为方程，方程问题主要研究的是未知量和已知量之间的数量关系的问题，函数和方程尽管存在概念上的差别，但若是以解析式来表示函数，那么该函数就等同于方程式，就可以运用函数思想来解答相关的问题。具体来讲，可以将一个方程式看作是两个相同的函数，或者将函数作为一个已知量，且已知函数值为0，就可以将其转化为函数问题来分析，所求方程式的解就是函数图像中的相交点。通过将函数思想融入方程问题的解答过程，可以将复杂问题进行简化，相较于传统的直接求解方程未知量的方式，这种方法更加快捷，学生对题目的理解和解答难度也会有效降低。

（四）应用函数思想解决最优化问题

实践是知识的起源，同样也是学习知识的最终目标，而应用理论知识解决现实中的问题也是现代教育的终极任务。在现实生活中，最优化问题比比皆是，无论是以最短时间往返两地的行程问题，还是以最低成本产出最多产品的生产问题，或是以尽可能低的单价采购尽可能多的货品等，都存在函数变量，同时，此类问题在数学高考题型中也占有较高的分值，因而可以应用函数思想来解决此类最优化问题，以提升学生的实践应用能力。

以最优路程题目为例，在解答此类问题时，首先要找出定量（也就是路程）和变量（也就是时间或速度），设定量为y，变量为x，这样就可以把题目中路程与速度和时间的相互关系问题转化成为了一个关于x、y的函数关系问题。而后，可以根据给定的数量关系，建立一个基本的数学模型，代入相关的知识后，就可以得出相应的结果。

结束语

总之，数学学习过程中量与量之间的相互关系通过函数思想和函数方法得到了深刻反映，因而，对于思维能力和实践能力均获得了一定培养的高中生而言，能够显著提高其解题效率，有效保障学生的数学学习效果。然而高中学生在准确理解复杂性函数思想方法方面，始终存在一定的难度，因而，作为数学学习的引导者，高中数学教师就需要对学生进行把握数学问题结构特征的引导和训练，使学生能够具备将数学概念充具体事例中抽象概括的能力，从而既掌握理论知识，又提升应用函数思想解决数学问题的能力。

参考文献：

[1]刘航.论函数思想对高中数学解题的指导作用[J].读写算,2018(17):241. 

[2]陈晓.探讨函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].新教育时代电子杂志（教师版）,2021(17):95.