函数不等式证明题的方法探索

函数不等式证明题的方法探索

武文佳

上海电机学院文理学院 ,上海浦东新区， 201306

摘 要：函数不等式的证明是高等数学课程学习中的难点，本文对用函数单调性以及拉格朗日中值定理证明不等式进行了探索，对证明思路和步骤进行了梳理，通过具体例题对证明方法进行了讨论和总结。

关键词：函数；不等式；单调性；拉格朗日中值定理

函数不等式的证明是高等数学课程中的常见题型，也是一元函数微积分教学过程中的重点和难点内容，常用的方法有利用函数的单调性、函数的最值、拉格朗日中值定理、泰勒公式等，这几种基本方法可以解决大多数不等式的证明题。其中利用单调性、拉格朗日中值定理，并将两种方法结合，是近几年考研数学中不等式证明题中常用的方法。本文基于这两种方法，对典型的证明题进行分析和总结，重点探讨单调性和拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用。

一．证明函数不等式的方法总结

函数不等式证明题的通常形式为：证明当 ，有 。

1. 利用函数的单调性

利用函数单调性证明这类不等式问题的主要思路和证明步骤为：

（1）移项 ；

（2）构造辅助函数，令 ；

（3）证明 。

其中关键的步骤就在于第（3）步构造辅助函数，将不等式的证明转化为证明辅助函数 ，进而对辅助函数 求导，利用导数结合函数在端点的函数值（或极限值）证明。

2. 利用拉格朗日中值定理

如果要证明的不等式形式为： 或 ，则在证明时应该想到利用拉格朗日中值定理。

拉格朗日中值定理的内容为：如果函数 在闭区间 连续，在开区间 可导，则至少存在一点 ，使得 ，从而有：

（1）若要证明 ，结合拉格朗日中值定理，只需证 ；

（2）若要证明 ，结合拉格朗日中值定理，只需证 即可。

3. 证明的不等式如果不是函数，则经常将不等式中某常量改为变量 ，进一步用上述方法证明。

2. 典型题分析讲解

1. 设 ，证明： .

分析思路：（1）要证 ，只需证 ；

（2）构造辅助函数，令 ；

（3）证明 。

在证明第（3）步时，为了证明 ，因为 ，即证 即可，从而此问题可以转化为证明 在 区间单调增加，即证明 即可，从而本题的证明思路非常清晰了。在具体证明时，只需按照所分析的思路，构造上述辅助函数，用单调性去证明即可。

证明过程：令 ，则 ，且 ；

为了证明 ，借助于二阶导数，因为 ，

所以 在 区间单调增加，则 ，所以 在 区间单调增加，又因为

，所以 ，即 ，从而原不等式得证。

2. 设 ，证明： .

分析思路：本题证明的形式和拉格朗日中值定理的形式类似，所以首先考虑的方法就是利用拉格朗日中值定理。

（1）根据证明的形式，构造辅助函数 ，对 在 区间上用拉格朗日中值定理可得 ；

（2）证明 即可。

证明过程：令 ，则 ，对 在 区间上用拉格朗日中值定理，有

，

其中 ，则 .

又因为 ，则 ，故 ，即 ，证毕。

3. 设 ，证明： .

分析思路：本题证明的形式很容易想到利用拉格朗日中值定理，做题时需要从证明的结论出发，选择合适的方法入手分析。本题在分析过程中会发现，证明时需要将拉格朗日中值定理和函数的单调性相结合。将上述两种方法相结合也是证明不等式时常用的方法。

（1）根据证明的形式，构造辅助函数 ，对 在 区间上用拉格朗日中值定理可得 ；

（2）证明 即可，在此部分的证明中则需要用到函数的单调性去证明。

证明过程：令 ，则 ，对 在 区间上用拉格朗日中值定理，有

，

其中 .

（只需证明当 时 即可，即证明当 时 ）

令 ，下面用单调性证明 .

因为 ， ，

所以当 时， 单调减少，

所以 ，即 ，即当 时 ，

所以当 时 ，即 ，原不等式得证。

4. 设 ，证明： .

分析思路：本题和例2形式类似，通过不等式形式很容易想到利用拉格朗日中值定理，所以做题入手时可以和例2类似分析，证明 。但是从分析中可以发现， 与 的大小不容易判断，因此本题转而用单调性证明。本题即第一部分方法分析中的第3种情形，当证明的不等式如果不是函数，则经常将不等式中某常量改为变量 。

（1）根据证明的形式，将b改为x，构造辅助函数 ，

（2）证明在 区间上 ；

（3）对于 ，有 ，即 .

证明过程：令 ，则 ， ，

所以 在 区间上单调减少，又因为 ，所以 ，即 ，

取 ，则 ，即 ，不等式得证。

不等式的证明在考研数学和数学竞赛中非常常见，本文总结了用单调性和拉格朗日中值定理证明不等式的方法和思路。对于不等式的证明方法和证明技巧，需要学生在学习时多总结多思考，掌握不等式证明的基本思路，才能在遇到问题时迎刃而解。

参考文献

[1] 朱泰英，张圣勤. 高等数学（机电类）[M].北京：中国铁道出版社，2013.

[2] 武忠祥，姜晓千. 高等数学辅导讲义[M].西安：西安交通大学出版社，2019.

作者简介：武文佳（1985-），女，蒙古族，博士，讲师，主要研究方向：计算数学