魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题

魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题

赵刚

湖北省竹溪县第一高级中学 442300

韦达定理是法国数学家韦达最早发现的关于代数方程 的根与系数之间的一种关系。中学阶段，我们学一元二次方程中根和系数关系的重要定理。它第一次出现在人教版九年级数学上册二十一章——《2.4 一元二次方程的根与系数的关系》一节中，为选学内容。

在实数范围内应用韦达定理，必须注意判别式 0，a  0这两个隐含条件是否成立。

但纵观高中阶段的考试考卷，不难发现，关于韦达定理的题目屡屡出现，包括代数和平面解析几何两个方面，而且我们认识到巧用韦达定理解题的强大作用，也体会到韦达定理的巧妙之处。

下面从两个方面介绍巧用韦达定理解决高中数学的实际问题。

一、在代数方面的应用

韦达定理用得最多的就是已知一元二次方程，求根之间的关系；或者由根之间的关系，构建一元二次方程，据此解题。在高中阶段，用的地方很多，下面从数列、三角函数、 解三角形和有关证明几个方面进行说明。

1.已知一元二次方程，求根（或根之间的关系）。

例1：等比数列an中，a1和a12是方程2x25x10的两个根，求a4.a9的值。

剖析：由于等差数列的性质和等差数列的性质在与形式上正好与韦达定理有相似之处， 故有的题会与之结合，这也体现了该定理在解答数列相关题时的巧妙之处。

2.已知一元二次方程的两根，构建一元二次方程。

剖

剖析：次题展示了韦达定理在解三角函数中的应用。此处sincos与sin .cos也与韦达定理在形式上一致，故可以把它们看做整体构建为一个一元二次方程，便于求解。在两角和差的正切公式处， tan tan 和tan  tan 也满足韦达定理的形式，所以此处也可以将两者巧妙地结合在一起考查。

剖析：因余弦定理含有两边平方和的关系，将余弦定理转换后与韦达定理有联系之处，这就启发我们构建关于未知数的一元二次方程，从而求得a、b、c的值。此题展示了韦达定理在解三角形时，与余弦定理的巧妙结合。

剖析：该题证明过程中，也巧妙的运用了构建一元二次方程的方法，结合判别式来进行求解证明。

二、在平面解析几何中的应用

虽然韦达定理是代数中的一个定理，但是在平面解析几何中也有广泛的应用。高中的平面解析几何中，直线与圆锥曲线相交的问题，有许多时候都会涉及韦达定理的综合应用。韦达定理反映了方程根与系数的关系，在平面解析几何中凡是与方程的根有关的问题，大多数可用韦达定理来求解，下面通过椭圆、双曲线及抛物线三种圆锥曲线，说明韦达定理在平面解析几何中的巧妙应用。

剖析：解答此题展现了韦达定理在双曲线处是如何控制两个交点都在右支上的这一重要结论。并且在第(2) 问中，根据韦达定理与几何关系 FAFB 之间的密切联系，从而计算出 k 的值，得到直线方程。

在高中的常见题型中，我们还会遇到类似的问题，需要把它们适当变形或者转化后，再运用韦达定理求解。这也体现了韦达定理的灵活性，需要我们深刻的认识理解韦达定理的实质——根于一元二次方程系数间的关系。在此，列出韦达定理及其经常运用的变形，供大家在解决实际问题时灵活选用。

通过上面的例题及剖析，说明了韦达定理在代数和平面解析几何中具有重要的价值。在与代数的结合中，主要是关于一元二次方程的系数与根之间的关系，和由根的关系构建一元二次方程两个方面。在与平面解析几何的结合中，将直线方程与圆锥曲线联立，得到的交点坐标与韦达定理的联 系，进而求解一些关于弦长，离心率，轨迹方程，中点弦等系列的问题。韦达定理的应用，在高中数学的学习中，充分考察了学生的思维能力和计算能力，需把数学中常用的思想——函数与方程，数形结合，转化与化归，类比归纳等与之巧妙结合。在高中的常见题型中，我们还会遇到类似的问题，需要把它们适当变形或者转化后，再运用韦达定理求解。