2022年全国新高考I卷立体几何大题的教学启示

2022年全国新高考I卷立体几何大题的教学启示

梁超荣

湛江市麻章区第一中学    广东湛江 524094

摘要：通过对2022年全国新高考I卷第19题立体几何大题的特点与易错点分析研究，对教学如何提高数学运算能力、重视推理论证能力、挖掘知识本质内涵三个方面的启示作用，利于教师的教学水平提高，学生的思维发散，学生的数学核心素养提升。

关键词：立体几何 试题透析 教学启示

    2022年高考数学科考完后，不少考生深受打击，特别有部分考生说立体几何大题一分没拿。立体几何是研究现实世界中物体的形状，大小与位置关系的数学分支。[1]由于其有高度的抽象性，是考查数学抽象、逻辑推理、直观想象等素养的重要载体，给学生学习带来不少困难，因此对立体几何的高考试题研究是很有价值的，对我们数学学科的日常教学与高考备考工作有很重要的导向作用。

1试题透析

    1.1试题

   （2022年全国新高考I卷第19题）如图1，直三棱柱的体积为4，△的面积为.

（1）求到平面的距离；

（2）设为的中点，，平面平面，

求二面角的正弦值.

1.2试题的特点与易错点分析

此题以直三棱柱为载体，直三棱柱是特殊的棱柱，其侧棱与底面垂直，主要是考查点到平面的距离与二面角的正弦值。与以往考查有所不同，第一问一般是直线、平面位置关系的证明，这里把体积、面积、点到平面的距离等知识综合在一起考查是本题最大的亮点，不少考生在考试时无法很好进行知识迁移与转化，导致无法准确算出结果。第二问是二面角的正弦值求解，学生使用空间向量法时，并没有证明线线两两垂直就直接建立空间直角坐标系，也有在计算方面出比现较多错误；使用综合法处理时，很多学生无法找出二面角的平面角，更加无从下手。由此可以看出，学生无法很好地解决此题主要存在以下几种情况：

（1）限时运算能力弱，无法准确使用或灵活转化公式计算，空间向量法计算错误率高。（2）逻辑推理能力弱，不能对已知条件进行化归转化与知识迁移来论证，思维不活跃。

（3）对立体几何二面角等相关概念、知识点理解不透彻，无法找出与求出二面角等。

这道立体几何大题，难度中等，注重基础知识，突出能力素养，考查学生思维的活跃性和深刻性，考查学生知识迁移能力和综合运用知识观察、发现、分析、解决问题的能力，考生普遍感觉比较难，得分情况很不理想。

2教学启示

2.1提高数学运算能力，熟练灵活使用公式

立体几何计算问题是高考考查的重点内容，以立体几何体为载体，考查几何体的表面积、体积、距离、角度等计算问题，整合三角形、向量、函数等知识，考查学生空间想象能力、逻辑推理能力、数学运算能力等能力和化归转化思想等数学思想，可见立体几何的计算问题是非常综合的，有难度的。所以在日常教学中训练提高学生的数学运算能力非常重要的，有意识引导学生灵活使用公式，学习运算方法技巧等知识，从而提高运算能力，促进思维的发展。在立体几何教学中运用化归思想进行转化，把握好立体几何计算问题的解题思路主要有两个方向：一是把空间问题平面化，化为平面几何图形的线段或夹角，或三角形的边角等计算问题，即是解析几何、三角形等知识，从而降低空间想象能力的要求；二是把空间问题代数化，即运用向量法解决空间几何问题，向量法能有效避开抽象的几何推理和繁杂的几何计算，从而降低解题的难度，增加解题的可操作性和准确性。学习中，使用化归思想，降低立体几何的难度，能增强学生学好立体几何的自信。如高考题中的第一问考查点到平面的距离，解决此问题的常用方法有：①确定平面的垂线段；②利用等体积变换法；③用空间向量法点到平面距离公式。已知，，由已知条件，很多学生都会考虑选择等体积变换法处理，但不少同学无法准确等价转化以致无法准确算出结果。题目第二问是求二面角的正弦值，要把的长度算出来，由，是直角三角形。设，，则联立解出，，只有解出这几个边长，为后面求出二面角的正弦值打下基础。

2.2重视逻辑推理能力，关注思维形成过程

逻辑推理是指从从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。[2]当前高中数学逻辑推理素养培养并不理想，表现在读题粗心大意，解题逻辑思维混乱，过程繁琐，不规范或无法表述等，出现证明恐惧症或万能向量法，学生听得懂，但不会做等情况，以致得分情况并不理想。在日常教学中，首先要消除学生的心理障碍，树立能学好推理论证的信心。立体几何的定理、公理等知识是进行逻辑推理的基石，对定理、公理等知识深入理解与思考，建立有层次、有系统的知识结构，明确几何位置关系之间的相互转化并灵活运用，能有效提高学生分析，发现问题的内在逻辑推理关系。引导学生执因索果，由果寻因的探索论证方法的过程，促进学生形成有条理有目的的思考，增强学生对证明体系的理解与应用，学会有效观察、分析、迁移和转化，是提升立体几何推理能力的关键，思维形成重要过程。充分暴露学生的思维推理过程和规范书写等问题，帮助学生理清论证思路，有效提升学生的逻辑推理能力。如2022年高考立体几何大题表面上没有论证证明，但实际上隐含于第二问，先利用

平面平面，转化平面，，结合平面，，证出平面，是解决第二问的关键，逻辑论证在题目的解答过程中都是必考查知识，必须要熟练掌握探索论证方法与思维形成过程，提升学生逻辑推理能力。

2.3深度理解基本知识，挖掘数学本质内涵

目前很多学生存在这种情况，在考试时，遇到新的问题或情境，就无法正确进行知识迁移，主要原因在于学生没有真正掌握数学知识的本质，没有弄清思考、解决问题的出发点。在日常教学中，重视研究教材概念定理等，理清知识的来龙去脉，把握好数学问题的关键点，寻找方法的思维起点，挖掘数学问题背后蕴含的内在逻辑，将通性通法迁移到新数学问题的研究中去。通过变式和拓展，引导从特殊到一般，掌握解决问题的方法，层层深入递进的进行探索，经历探索知识的形成过程逐步积累思想与方法，促进学生发现、改善思考和解题方式，提升数学能力。从学生最近发展区出发，引发学生互相交流与深层次思考，在联系、对比、变化迁移中，有助于提升数学思维，理解基本知识，把握数学本质。如二面角的学习中学生找不出二面角的平面角或计算错误，归根到底还是知识理解不清，数学本质把握不好。高考题第二问求二面角的正弦值，求二面角的思维方法是降维，将空间角转化为平面角，根据二面角的概念，找到垂直关系是关键，进而找出二面角的平面角，通过解三角形求出二面角的平面角。也有不少学生注重空间向量的解法，直接建立空间坐标求解，但计算出错。还有不少同学直接忽略综合法的学习，导致学生遇到立体几何空间角问题时，直接用向量法，不想用综合法作答，直接弱化学生空间想象能力的培养，不利于学生直观想象素养的发展。在教学讲解过程中，要从学生的角度去思考问题，引导一题多解，多题一解等思维方法训练，鼓励学生根据题型特点，灵活选择运用合适的方法，从不同角度解决立体几何问题。

通过这样的教学，解决立体几何题目就轻而易举的事情，下面是高考题解答过程：

解：（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，

则，

所以，解得，所以点A到平面的距离为。

（2）取的中点,连接,如图2，因为，所以,

又平面平面，平面平面，

且平面，所以平面，由平面，，

在直三棱柱中，平面，由平面可得，

又平面且，所以平面，

平面，可得。

所以是直角三角形。设，，则联立解出，，

法一：（向量法）所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，,所以的中点，

则，，，

设平面的一个法向量，则，

令，则，得，

设平面的一个法向量，则，

令，则，得，

则，

所以二面角的正弦值为.

法二：（综合法）如图3

由是直角三角形,得，

由是直角三角形,得，

所以，

由是直角三角形，，

由于，，，

所以，，

如图3：作，连结，所以，

所以，，所以为二面角的平面角。

（等面积法求长度）：

等腰的边上高为，

所以，，

（解三角形法求长度）：

在中，，

，，

所以，

因为，所以，

所以二面角的正弦值为.

3.结束语

分析研究高考试题与学生的情况，能很好指导我们的教学，不断调整教学的模式与完善高考备考策略，提高教师的专业发展水平，激发学生学习数学的热情，引导学生多角度的观察、发现、分析、解决问题，发展学生的逻辑思维，提升学生的数学核心素养。

参考文献：

[1]章建跃 李增沪，普通高中教科书数学必修第二册[M]，北京：人民教育出版社，2019.7：96.

[2]中华人民共和国教育部制定，普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]，北京：人民教育出版社，2020.5：5.