圆锥曲线焦点三角形问题的常见策略及认知分析

圆锥曲线焦点三角形问题的常见策略及认知分析

高威威

重庆三峡学院，重庆  404100

文献综述

1.1相关概念的界定

1.1.1焦点三角形

1.1.1.1圆锥曲线焦点三角形问题的界定

如图 2-1 与图 2-2 所示，椭圆或双曲线上的一点 P(x, y)，与两焦点所构成的
△F1PF2 叫做椭圆或双曲线的焦点三角形.结合椭圆或双曲线的几何性质，解决与焦点三角形相关的问题称为圆锥曲线焦点三角形问题.

图2-1 椭圆焦点三角形图2-2 双曲线焦点三角形

1.1.1.2焦点三角形问题的相关研究现状

顾婷(2017)认为焦点三角形作为圆锥曲线的重要知识，其问题的解决不仅能够很好的体现圆锥曲线第一定义的运用，也能体现解三角形、三角函数、三角形面积等相关知识与圆锥曲线知识的交汇整合,还能够体现直线和圆锥曲线综合问题的结合．

黄锋(2009)通过研究全国各地的高考试题及模拟试卷发现，以焦点三角形为载体的问题层出不穷，其蕴涵着许多重要的几何性质如焦半径的取值范围等，并在具体问题中经常与正、余弦定理、平面几何和向量等知识相结合.

刘志勇，方志平(2009)认为在解决与面积有关的焦点三角形问题时，如能灵活巧妙地运用双曲线焦点三角形的面积公式，不仅可以避免冗长的推理和运算，还能提高问题解决的准确率.

薛灿乐(2012)认为利用椭圆焦点三角形面积公式求解问题时，要注意角度为以椭圆上的点为顶点的角，在遇到有关焦点三角形中有关取值范围的问题时，优先考虑焦点三角形面积公式也是解决问题的一条简捷路径.

陈新辉(2012)发现在解决椭圆焦点三角形问题时常用到椭圆第一、第二定义、焦半径公式、正弦定理、余弦定理、向量数量积、三角形面积公式等，通过对椭圆焦点三角形问题的探讨，对双曲线焦点三角形问题的解决也起到了很好的借鉴作用.

张仁华(2018)认为焦点三角形将椭圆、双曲线和解三角形等知识联系在一起，重点考查椭圆、双曲线的定义与性质，充分体现了函数思想在圆锥曲线焦点三角形问题中的应用，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性、缜密性.

夏丽娟、胡广宏(2013)认为焦点三角形有关问题的解题方法与三角形边角关系圆锥曲线或圆的性质紧密相连．与周长有关的问题解决需运用第一定义；与面积有关的问题解决需抓住面积公式；与角度有关的问题解决需关注正、余弦定理；与角平分线问题有关的问题解决需借助角平分线性质.

1.1.1.3典型焦点三角形问题的研究综述

通过焦点三角形的相关研究可以发现以下三点：

(1)焦点三角形是新课标数学卷客观题的命题热点,常见的问题有焦点三角形涉及周长角度、面积、离心率、角平分线、中位线问题；

(2)焦点三角形的相关研究主要集中在性质证明和问题求解，焦点三角形问题的解决常常结合正弦定理、余弦定理、三角函数、角平分线定理、中位线定理、向量等相关知识，是一个综合性强，思维强度高的一类问题.现将高中数学焦点三角形的常见性质进行归纳.具体见表 2-1

表 2-1 高中数学焦点三角形常见性质

1.1.2 解题策略

1.1.2.1 解题策略的界定

“策略”意即计谋、谋略，战略，是一种总体行动方针.数学解题的策略是为了实现解题目标而采取的途径或方针，适用面较广，层次较高，既可以作为解题思想与解题操作之间的桥梁，也可以用来解决具体的问题.如果把解题策略视为选择与组合的一系列规则，使用这些规则实现最优解.

1.1.2.2解题策略的相关研究现状

戴再平(1996)将解题策略分为枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、推进到一般、从整体看问题以及正难则反.

罗增儒(1997)将解题策略分为模式识别、映射划归、差异分析、分合并用、进退互化、正反相辅、动静转换、数形结合、有效增设和以美启真.

王延文(1995)将解题策略分为问题转化策略、目标策略、知觉策略、模式识别策略、特殊化策略、逆向策略以及整体策略.

闻杰(2013)将解决解析几何问题的策略分为识别模式，择优定法；布列方程， 紧扣条件；抓住零元，优化设线；目标分析，差异同化；设而不求，整体代换；整理化简，抓住主元.

游佳(2019)认为在高中学习，要注重学生解题思维的讲解与培养，引导学生在解题的过程中不断总结方法与规律，提高学生解题的准确率与效率，减轻学生学习的压力，在解题方面得心顺手.

罗义铭(2016)认为圆锥曲线问题的解决需要复杂的推理和运算，学生在解题时如果选择不恰当的方法,对相关的简化运算的技巧和方法没有掌握，非常容易陷人冗长的运算而导致解题失败.

孙延松(2017)认为在高中数学学习过程中，常常会遇到一些问题直接去解答会比较困难，这个时候可以考虑运用化归策略解决问题，即通过不断的分析、推理、观察，选择合理的解题方式，将问题的难点转化成为一个新问题，也就是转化成自己熟悉的问题，通过自己的理解简单化，从而在自己的理解中找到解答的方法这种转化方法我们称之为化归思想方法．

1.1.2.3 解题策略的研究综述

从已有的研究来看，数学问题的解题策略大体上有四个层次：(1)一般的思维方法，如观察与试验、比较与概括、分析与综合、一般化与具体化；(2)一般的探索方法组织、辨认与回忆、充实与重新分配、分离与组合；(3)数学的思想方法，如方法论角度的研究；(4)数学的解题技巧.

高中数学解题策略的相关研究很多，本文结合解题策略相关研究现状和学生解决焦点三角形问题的具体过程，确定学生解决焦点三角形问题的常见策略为目标策略、问题转化策略和模式识别策略，相对应的解题方法在具体问题中也作了明确说明.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M]. 第一版. 北京：人民教育出版社，2017：41-46

[2]顾婷.例谈专题复习教学设计——以焦点三角形为例[J].数学教学通讯，2017，

(8)下旬：33-34

[3]黄锋.例析与椭圆的焦点三角形相关的问题[J].上海中学教学，2009，(3)：18-19

[4]林国红.巧用椭圆焦点三角形的两个性质求解离心率的范围[J].中学数学月刊，2017，(11)：40-45

作者简介：高威威（1996.10-）；男；汉族；山西霍州人；硕士在读；重庆三峡学院，数学与统计学院；研究方向：学科教学（数学）