用几何画板突破绝对值教学难点的策略

用几何画板突破绝对值教学难点的策略

张旭哲1, ,罗文娟2 ,纪桂兰3

1陕西省宝鸡市渭滨区教研室

2陕西省宝鸡市烽火中学

3陕西省宝鸡市相家庄中学

摘要：关于绝对值的概念和计算对学生来讲是学习的难点，本文列举一道求代数式最值问题例题，以数形结合思想方法为指导，介绍了借助几何画板动态演示来突破难点的全过程，为绝对值教学和用图形探究代数问题提供了一种策略。

关键词；绝对值；几何画板；难点突破

例题：己知：在数轴上有两个点A，B，它们分别代表数x和数y，则线段AB=∣x- y∣ ．据此可以求出数轴上若点M代表数3点N代表数7，则MN=∣3-7∣=4，

试探索：(1）在数轴上若C点代表数字9，D点代表数字﹣12，求CD长；

(2）在数轴上若点P代表数m,点Q代表数-5，点R代表数1,点P位于﹣5和1之间，求 PQ+PR=∣m +5∣+∣m -1∣的值；

(3）请根据以上材料自主探究猜想：

①求∣t +8∣+ ∣t +4∣+ ∣t -3∣的最小值；并写出原式取最小值时t的值；

②请计算式子∣s +7∣+ ∣s +4∣+ ∣s -2∣+ ∣s-5∣的最小值.并写出原式取最小值时s 的范围. （范围写成 m ～ n 的形式或不等式组形式均可），

难点分析：难点一：第(2)小题表示数 m的点的位置不固定，属于动态问题，学生不容易想到解决方案，可借助数轴画出第（2）小题表示数m的点，动画演示P点在﹣5和1之间运动时，∣m +5∣+∣m -1∣表示P点到表示数﹣5和1的点之间的距离和,即PQ+PR=QR，直接观察QR长度为6，从而在数轴上直接寻求得到答案。

难点二：第（3）小题第①问属于代数式值的最小值问题，表示数 t的点的位置不固定，学生没有解决随着点的位置的变化，代数式值也随之变化的一类动态问题的直接经验，学生脑海中很难想象或直接找到代数式值的大小变化规律，问题难度很大，此时可以借助数轴利用数形结合思想方法探究此类动态问题的解法。

问题解决策略：

1.借助数轴，帮助学生理解绝对值的几何意义

第一步，利用数轴明确绝对值的几何意义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值（北师大版数学七年级上册第30页）．

如图1，OA=∣a∣,学生通过数轴很容易理解绝对值的几何意义。

第二步，推广应用绝对值的几何意义

假如把|m|看作|m－0|，那么数轴上代表数m的点与代表数0的点（原点）的距离．请问|m－3|表示什么呢？一般不解释为数轴上代表数m－3的点与代表数0的点（原点）的距离．那应该看成什么呢？应该看成数轴上代表数m的点与代表数3的点的距离．如果不能理解这种解释，可以回到数字例子，请问数轴上代表数9的点与代表数3的点的距离是几？那当然是9－3，那把9换成了m，就是m－3了，如果m比3小，带上绝对值符号，保证两点间的距离为非负数，就是|m－3|了．那么|m＋7|的几何意义是什么呢？|m＋7|＝|m－(－7)|，表示数轴上代表数m的点与代表数-7的点的距离．最终推导出|a－b|和|a＋b|的几何意义是：|a-b|表示数轴上代表a的点和代表b的点之间的距离，|a＋b|表示数轴上代表a的点和代表-b的点之间的距离。

2.借助数轴探究动态问题的解法。

为解决第（3）小题第①问，用几何画板做以下动态演示：

图2中A、B、C三点分别表示-8、-4、3，P点表示数t，PA表示∣t +8∣，PB表示∣t +4∣，PC表示∣t -3∣，则PA+PB+PC表示∣t +8∣+ ∣t +4∣+ ∣t -3∣，通过P点在数轴上左右移动，可以清晰看到当P点和B点重合时，∣t +8∣+ ∣t +4∣+ ∣t -3∣有最小值，此时t=-4,最小值为11. 问题得到解决。

其中图2中左图表示点P不在B处时三段距离和没取到最小值，右图表示三段距离和取到最小值。第（3）小题第②问也可以类似的用几何画板数轴动态演示进行探究，最终解决问题。

第（3）小题第①问解题过程如下：

根据题意，可知当﹣8≤t≤3时，∣t +8∣+ ∣t +4∣+ ∣t -3∣有最小值．∴∣t +8∣＝t +8，∣t -3∣＝3-t，

当﹣8≤t≤-4时，∣t +4∣=-t-4, 当﹣4＜t≤3时，∣t +4∣= t +4,

∴当﹣8≤t≤-4时，∣t +8∣+ ∣t +4∣+ ∣t -3∣＝t +8-t-4+3-t＝7-t,当t=-4时，原式最小值为11；

当﹣4≤t≤3时，∣t +8∣+ ∣t +4∣+ ∣t -3∣＝t +8 +t +4+3-t＝t+15；当t=-4时，原式最小值为11，

综上所述，当t=-4时，原式最小值为11

解题后反思：问题解决后小结解题方法时，老师可以问学生：

线段AB长能不能用∣y - x∣来计算？经过计算和讨论，达成共识：AB=∣x- y∣=∣y - x∣，即用右边的数减去左边的数或者左边的数减去右边的数，再求绝对值，都能算出A、B两点间的距离，即距离与减数被减数顺序无关。

也可以问学生：第（2）问中如果不借助数轴，如何快速求解？M取何值最方便求解？学生经过思考归纳后可得到结论：m=-5或者m=1时，能快速得到答案。

老师继续追问：第（3）小题第①问中代数式值最小时t的取值和题目中代数式∣t +8∣+ ∣t +4∣+ ∣t -3∣中的数字之间有何关系？不看数轴，能否直接解出来最小值？答案是可以，令t +4=0，解得t=-4，把t=-4代入原式得最小值为11。

总之，以上解法体现了数形结合思想方法在绝对值教学中的应用，把两点间的距离这种数量关系问题转化为数轴上的线段长这种图形的大小去研究，利用形这一工具，解决数的计算问题为目的. 起到图形动态演示直观形象，便于学生理解和总结规律，精简解题过程和提升解题效率的作用.

参考文献

[1]《例谈绝对值的分类讨论和数形结合思想》.张科如.《数理化解题研究》2011年第9期P19

[2]《义务教育数学课程标准2022年版》北京师范大学出版社2022.4