浅谈微分方程的几点应用

(整期优先)网络出版时间:2023-04-19
/ 1

浅谈微分方程的几点应用

赵文英

(潍坊工程职业学院,山东 青州 262500)

作者简介:赵文英,1992.11 ,女,山东临朐,汉,高职数学教学,助教,硕士研究生

摘要:微分方程来源于实践,是现代科学技术中分析问题和解决问题的有力工具。介绍微分方程的几个应用实例,将实际问题抽象成微分方程模型,通过求解微分方程,用得到的解来分析实际问题。读者可从中感受到应用微分方程的理论和方法解决实际问题的魅力。

关键词:微分方程;温度冷却;人口预测;传染病传播

1 微分方程数学模型应用

1.1 温度冷却问题

把一杯加热到的牛奶,放到的恒温环境中冷却,求牛奶温度的变化规律。根据牛顿冷却定律:一个较周围热的物体温度为,忽略表面积以及外部介质性质和温度的变化,它的冷却速率与该物体的温度与周围环境的温度的差成正比。在冷却过程中,设牛奶在时刻的温度为,物体冷却的速率就是牛奶温度对时间的变化率。于是可得下列微分方程

               (1)

其中,为比例常数,上式右边出现负号,是因为随着时间的增加,温度在减小,即当时,

利用分离变量法求解上述微分方程初值问题,得,两边同时积分,可得,将初值代入得所求温度的变化规律为。设定,利用MATLAB软件绘制图像。

由上图看出,牛奶温度的冷却是按指数规律变化的。随着时间的增加,温度的下降由快变慢,最终趋于环境温度

1.2 人口预测问题

1798年,英国著名人口学家马尔萨斯(Malthus)提出了马尔萨斯人口模型

                       (2)

其中,将人口看做是连续时间的连续可微函数表示初始时刻()的人口,表示单位时间人口增长率。

上述方程可以用分离变量法求解,分离变量得,等式两边求积分可得人口与时间的关系为。当人口增长率时,人口将按指数规律无限增长。这显然是不符合实际的,人口不可能无限增长下去,资源环境都是有限的。不过,虽然马尔萨斯人口模型不适合描述、也不能预测较长时间的人口变化过程,但是用它作短期人口预测是可以的,因为在短时间内,人口增长率是常数大致成立。

考虑到增长率随时间变化,在人口增长到一定数量后,环境条件、自然资源等因素对人口的增长起着阻滞作用,并且随着人口的增加,阻滞作用越来越大。于是,有了下列方程:

               (3)

其中,是(理论)上的增长率,表示资源和环境所能容纳的最大人口数量,表示人口增长率函数。

求解上述微分方程,得

  。

设定参数,利用MATLAB软件对1970-2021年中国人口总数进行数值模拟(数据来源于中国统计年鉴2021和年度统计公报)。

微信截图_20230204224356

从上图可以明显看出,Malthus模型在较短的时间内可以预测人口数量,长时间内则不再可信。而模型在较长的时间内都可以比较准确地预测人口的数量。

2 结语

以上介绍了微分方程的三个应用实例,涉及微分方程在物理学、人口学、生物医学方面。除此之外,微分方程的发展极大地推动了力学技术、电子技术等诸多领域的发展,为它们提供了关键技术支撑。

参考文献:

[1]陈凤英. 高等数学(工科类)[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 2021: 140-158.

[2]姜启源. 数学模型(第五版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2019: 141-188.

[3]史诗洁. 浅谈常微分方程在数学模型中的应用及其数值模拟[J]. 教育教学论坛, 2020,(45):122-123.